Мир натуральных чисел

Мир натуральных чисел

5 класс

Разработала учитель математики

Ардарова Наталья Владимировна,

МКОУ «Приморская ОШ»

х. Приморский, Калачевского района

Волгоградской области

Цель:

показать ценность математики и натуральных чисел как источника увлекательных и загадочных явлений.

.

Задачи:

• Рассмотреть историю системы записи чисел;
• Узнать какие числа называются фигурными, многоугольными, совершенными, дружественными, компанейскими;
• Познакомиться с числом Шахерезады, с числом на древнеегипетской гробнице;
• Отыскать необычные свойства и интересные факты о натуральных числах ;

Гипотеза : Математика может удивлять, зачаровывать, восхищать!?

Из истории натуральных чисел

Используемая нами десятичная система счисления возникла по причине того, что у человека на руках 10 пальцев.

В основе распространённых в древних Шумере и Вавилоне двенадцатеричной и шестидесятеричной систем тоже было использование рук.

Цивилизация майя и независимо от них чукчи исторически использовали двадцатичную систему счисления, применяя пальцы не только рук, но и ног.

Из истории натуральных чисел

В III тыс. до н.э. в Месопотамии появилась шестидесятеричная система счисления. С точки зрения математики эта система намного «выгоднее» десятеричной.

система записи чисел

Шумер

Вавилон

система записи чисел

Одна из самых древнейших и прогрессивных систем записи чисел, возникла около 4 тыс. лет тому назад в Китае.

система записи чисел

Индейцы племени майя вместо самих цифр рисовали страшные головы.

Запись цифр древнего народа майя несколько веков спустя.

Системе счисления майя был и знак для нуля. По своей форме он напоминал полузакрытый глаз.

система записи чисел

В древней египетской нумерации, зародившейся более 5000 лет назад, существовали особые знаки (иероглифы) для записи чисел 1, 10, 100, 1000, …

система записи чисел

Древний Рим

Максимальное число, которое можно записать римскими цифрами, не нарушая правил Шварцмана (правил записи римских цифр) - 3999 (MMMCMXCIX) - больше трех цифр подряд писать нельзя

система записи чисел

Древнегреческая ионийская десятеричная алфавитная система записи чисел

Древняя Греция

В древности на Руси числа записывали при помощи букв славянского алфавита, над которыми ставился особый знак титло (˜). Способ записи чисел славяне позаимствовали у древних греков.

система записи чисел

Эволюция индийских цифр

Арабская и индийская система

Термин «цифра» в переводе с арабского означает «ноль». Только со временем данное слово начали использовать для обозначения любого численного символа.

Фигурные числа

Фигурные  числа  —общее название чисел, связанных с той или иной геометрической фигурой. Это историческое понятие восходит к  пифагорейцам. Предположительно от фигурных чисел возникло выражение: «Возвести число в квадрат или в куб».

Фигурные числа

Линейные числа – это числа, которые делятся только на единицу и на самих себя и, следовательно, представимы в последовательности точек, выстроенных в линию.

Примеры таких чисел: 1,2,3,5,7,11,13,17,19,…

Плоские числа- представимые в виде двух сомножителей.

Примеры:4,6,8,10,12,14,15,..

Телесные числа – выражаемые произведением трех сомножителей.

Пример:8,12,16,18,20,24,27,28.

Многоугольные числа

Выкладывая различные многоугольники, можно получить такие классы многоугольных чисел:

Треугольные числа- 1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10.

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153,…

Квадратные числа - представляют произведение двух одинаковых натуральных чисел, то есть являются полными квадратами:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256,…

Пятиугольные числа: 1,5,12,22,35,51,70,…

Шестиугольные числа: 1,6,15,28,…

,

,

  и 

, но больше никаких пар дружественных чисел для 

.

Краткая таблица дружественных чисел  

6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 173438691328,

Совершенные числа

Совершенным числом называют натуральное число, равное сумме всех его собственных делителей, т.е. делителей, отличных от самого числа. Так совершенными числами являются:

6=1+2+3, 28=1+2+4+7+14 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248

Лев Николаевич Толстой не раз бывало шутливо «хвастался» тем, что дата его рождения (28 августа по календарю того времени) является совершенным числом. Год рождения Л. Н. Толстого (1828) — тоже интересное число: последние две цифры образуют совершенное число; если обменять местами первые цифры, то получится   8128 — четвертое совершенное число.

Совершенные числа

В настоящее время зарегистрировано 20 совершенных чисел, причем последние восемь были обнаружены с помощью электронных вычислительных машин. Например, восемнадцатое совершенное число состоит из 1937 цифр.

V 18 =2 3216 (2 3217 -1)

Дружественные числа

Дружественные числа- два различных натуральных числа, для которых сумма всех собственных делителей первого числа равна второму числу.

Первая пара таких чисел была открыта последователями Пифагора.220 и 284. Эта пара считалась символом любви.

6=1+2+3

28=1+2+4+7+14

Леонард Эйлер открыл 59 пар дружественных чисел.

Николо Паганини в 1867 г. Открыл пару 1184 и 1210, ближайшую к 220 и 284. Эту пару пропустили все известные математики, занимавшиеся дружественными числами.

Компанейские числа

Компанейскими называют такую группу чисел, в которых сумма собственных делителей первого числа равна второму, сумма собственных делителей второго - третьему и т.д.

12496,14288,15472,14536,14264 .

14228=1+2+4+8+11+16+22+44+71+88+142+176+284+568+781+1136+1562++3124+6248

15472=1+2+4+8+16+19+38+47+76+94+152+188+304+376+752+893+1786+3572+7144

Число на гробнице

В одной из египетских пирамид ученые обнаружили на каменной плите гробницы выгравированное иероглифами число 2520.Оно без остатка делится абсолютно на все числа от 1 до 10.

Числа-Палиндромы

Числа, которые читаются одинаково, как справа налево, так и слева направо – называются палиндромами.

11,99,353,474,535,686,757,….

Палиндромом является квадрат числа - репьюнита.

11 ⁴=14641, 11²=121, 11³=1331

Число Шахерезады.

В математике палиндромические числа называют числом Шахерезады, связанно это с числом 1001.Которое фигурирует в заглавии бессмертных сказок «1000 и 1 ночь».Оно без остатка делится на три последовательных числа, произведением которых оно и является.

1001=13*11*7

При умножении любого трехзначного числа на 1001,в результате получается это же число, только записанное два раза.

753*1001=753753

259*1001=259259

Интересные свойства некоторых чисел

Существуют равенства, у которых обе стороны выражаются одними и теми же цифрами:

92-72=9+2+7+2, 42:3+3=4·2+3·3, 34-21=3·4+2-1, 95:5=9+5+5

63:3=6·3+3, 2+7·2·16=272+16.

Сумма и произведение чисел отличаются только расположением цифр:

9+9=18 и 9·9=81, 263+2=265 и 263·2=562, 24+3=27 и 24·3=72,

497+2=499 и 497·2=994

Интересные свойства некоторых чисел

Произведение чисел не изменится, если в каждом сомножителе переставить цифры:

13·93=31·39, 14·82=41·28, 23·64=32·46, 12·42=21·24,

12·63=21·36, 23·96=32·69, 462·132=231·264, 682·143=341·286,

Интересные свойства некоторых чисел

Если в четырехзначном числе записать цифры в порядке убывания, а затем в порядке возрастания и найти их разность, то через некоторое количество шагов получим число 6174

Пример: 2185

8521-1258=7263, 7632-2367=5265, 6552-2556=3996.

9963-3699=6264, 6642-2466=4176, 7641-1467=6174.

Магия чисел

Число 4 - в Китае и Японии – число смерти.

Число 7 – таинственное число, потому что человек воспринимает окружающий мир через семь отверстий в голове ( два глаза, два уха, две ноздри, рот.)

Число 9 – у древних римлян – добрая слава; у монголов - совершенство; в японско-китайском мире - несчастливое число- воспринимается как «болезнь».

Число 12 – дюжина: 12 месяцев в году, 12 знаков Зодиака, 12 делений на циферблате часов, 12 пятисекундок, в часе 12 пятиминуток, дважды 12 часов в сутки. сервизы на 12 персон. 12 - замыкало свет.

Число 13 – сулит неприятности. Оно простое и делится только на себя и единицу. Люди многих стран считают это число несчастливым, у славян же не было суеверий связанных с числом 13.

Магия чисел

Таинственные совпадения:

В году 365-366 дней. Нормальная температура человека – 36.5 и 36.6 градусов.

Скорость движения Земли вокруг Солнца – 108 х 10 км/час.

Объем Земли- 108 х 10 км3.Масса Солнца – 108 х 10 тонн

Спасибо за внимание!

Литература

• « Занимательная математика»./Я.И.Перельман/ - М. «АСТ.Астрель», 2011.
• «Новые математические развлечения» /Мартин Гарднер/ - М. «АСТ.Астрель», 2009.
• Энциклопедия Кирилла и Мефодия (электронный вариант).
• «Системы счисления» /С.В.Фомин/ - М. «Наука», 1964.
• «Забавная математика» /Н.Н.Аменицкий, И.П.Сахаров/ М. «Наука», 1991.
• Электронный сайт

http://free-math.ru/publ/zanimatelnaja_matematika/matematicheskie_fokusy/24

http://www.micromagic.ru/content/view/233/

http://focusomania.ucoz.ru/publ/istorija_vozniknovenija_fokusa_pokusa/1-1-0-1

http://www.scorcher.ru/any/magic.htm

http://goodmagic.ru/category/fokus-matematicheskie