Методы решения геометрических задач

Если вы хотите научиться плавать, то

смело входите в воду, а если хотите

научиться решать задачи, то решайте их.

Д. Пойа.

Методы решения геометрических задач.

геометрический – когда требуемое утверждение

выводится с помощью логических рассуждений из ряда известных теорем; 

алгебраический – когда искомая геометрическая величина вычисляется на основании различных зависимостей между элементами геометрических фигур непосредственно или с помощью уравнений; 

комбинированный – когда на одних этапах решение ведется геометрическим

методом, а на других – алгебраическим.

Геометрические методы: метод длин; метод треугольников;

метод параллельных прямых;

метод соотношений между сторонами и углами треугольника; метод четырехугольников; метод площадей;

метод подобия треугольников;

тригонометрический метод (метод, основанный на соотношениях между сторонами и углами треугольника, выраженными через тригонометрические функции);

метод геометрических преобразований.

Наиболее часто допускаемые

ошибки при решении задач.

1. Не внимательное чтение условия задачи.

2. Халатное построение чертежа (от руки, без чертежных инструментов).

3. Неправильный перенос данных задачи на чертеж (либо по незнанию,

либо по небрежности).

4. Неумение проанализировать условие задачи и выявить неизвестные величины,

возможность нахождения которых вытекает прямо из условия задачи.

5. Неумение применять формулы и теоремы к решению задач.

6. Несоблюдение этапов решения задачи.

Этапы решения

геометрических задач.

№ 1. В треугольнике АВС АВ = ВС, а высота АН делит сторону ВС на отрезки ВН = 45 и

СН = 30. Найдите cosB .

1. Чтение условия задачи.

2. Выполнение чертежа

с буквенными обозначениями.

В

Дано:

АВ = ВС,

АВС,

АН – высота,

3. Краткая запись условия задачи .

ВН = 45, СН = 30.

ВС,

Н

45

4. Перенос данных на чертеж.

Найти:

cosB.

5. Анализ данных задачи.

Н

6. Составление цепочки действий .

7. Запись решения задачи.

30

Анализ данных задачи.

А

С

8. Запись ответа.

5. Есть ли на рисунке прямоугольный треугольник?

1. О чем идет речь в условии задачи?

6. Почему он прямоугольный?

2. Что нам известно о треугольнике?

7. Что называется косинусом острого угла

прямоугольного треугольника?

3. Что надо найти в задаче?

4. Из какой фигуры можно найти косинус

острого угла?

8. Известны ли нам эти элементы?

9. Можно ли найти гипотенузу?

Составление цепочки действий.

1. Рассмотрим

АВН и докажем, что он прямоугольный.

2. Записать формулу для нахождения cosB.

3. Найдем сторону ВС, зная что по условию она равна стороне АВ.

4. Подставим все данные в формулу для нахождения cosB.

5. Запишем ответ.

№ 2. АС и ВD – диаметры окружности с центром О.

Угол АСВ равен 16 . Найдите угол АОD.

В

С

16

О

?

А

D

№ 3. Центральный угол АОВ, равный 60 ,

опирается на хорду АВ длиной 3.

Найдите радиус окружности.

О

60

N

А

3

В

№ 4. АВ – диаметр окружности с центром в точке О.

Точки М и N лежат на окружности.

Угол АВN равен 5 . Найдите угол NМВ.

А

В

О

№ 5. Точка О – центр окружности, на которой лежат

точки А, В, С. Известно, что АВС = 134 ,

ОАВ = 75 . Найдите угол ВОС.

М

А

О

75

134

С

В

С

В

№ 6. В параллелограмме ABCD проведены перпендикуляры

ВЕ и DF к диагонали АС. Докажите, что отрезки BF и DE равны.

F

Е

Решение:

А

D

Джорж Бернард Шоу

Умение мыслить математически – одна из благороднейших способностей человека.