Материал по математике "Метод координат при решении задач стереометрии"

Изучение метода координат является неотъемлемой частью школьного курса геометрии. Этот метод является достаточно мощным аппаратом для доказательства теорем и решения многих геометрических задач, в том числе и задач ЕГЭ. Его преимущество перед другими методами решения геометрических задач вполне очевидно.

Во-первых, применение метода координат зачастую не требует от учеников построения довольно сложных чертежей, тем самым избавляет их от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных изображений.

Во-вторых, при грамотном применении этот метод позволяет решить геометрическую задачу с помощью лишь алгебраических вычислений.

В-третьих, применение метода координат во многом алгоритмизировано, что в большинстве случаев в значительной степени упрощает поиск решения задачи.

Наконец, в-четвертых, метод координат демонстрирует тесную связь алгебры с геометрией, реализуя тем самым межпредметные связи.

В стереометрических задачах наиболее трудными являются задачи на вычисление двугранных углов, углов между скрещивающимися прямыми и пересекающимися плоскостями, а также на вычисление расстояний от точки до плоскости, между скрещивающимися прямыми, прямой и параллельной ей плоскостью и параллельными плоскостями. В данной статье будут рассмотрены примеры решения таких задач, встречающихся на ЕГЭ, с применением метода координат.

Пример 1. В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 3. На ребре AA₁ отмечена точка E так, что AE : EA₁ = 1 : 2. Найдите угол между плоскостями ABC и BED₁.

Если в задаче приходится иметь дело с прямоугольным параллелепипедом, правильной четырехугольной призмой или даже кубом – значит, метод координат как нельзя лучше подходит для решения, поскольку перечисленные многогранники отлично вписываются в прямоугольную систему координат.

Для решения задачи сделаем чертеж, но отметим, что он выполняется исключительно для того, чтобы правильно выбрать систему координат и задать уравнения соответствующих плоскостей. Непосредственно для решения задачи чертеж использоваться не будет. Заметим еще, что при наличии определенного уровня навыков решения подобных задач ученики могут и вовсе обойтись без чертежа.

Наиболее удобно в данной задаче представляется в качестве начала координат выбрать точку A, а координатные оси направить вдоль ребер AD, AB и AA₁. Нетрудно видеть, что AE = 1, EA₁ = 2. При таком выборе системы координат запишем координаты точек, через которые будут проходить данные в задаче плоскости: A(0;0;0) , B(0;0;2) , C(2;0;2) , E(0;1;0) , D₁(2;3;0) .

Весь материал – смотрите документ.

Воробьев Сергей Сергеевич

МОУ Сергиевская СОШ Коломенского района Московской области

Учитель физики

Метод координат при решении задач стереометрии

Изучение метода координат является неотъемлемой частью школьного курса геометрии. Этот метод является достаточно мощным аппаратом для доказательства теорем и решения многих геометрических задач, в том числе и задач ЕГЭ. Его преимущество перед другими методами решения геометрических задач вполне очевидно.

Во-первых, применение метода координат зачастую не требует от учеников построения довольно сложных чертежей, тем самым избавляет их от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных изображений.

Во-вторых, при грамотном применении этот метод позволяет решить геометрическую задачу с помощью лишь алгебраических вычислений.

В-третьих, применение метода координат во многом алгоритмизировано, что в большинстве случаев в значительной степени упрощает поиск решения задачи.

Наконец, в-четвертых, метод координат демонстрирует тесную связь алгебры с геометрией, реализуя тем самым межпредметные связи.

В стереометрических задачах наиболее трудными являются задачи на вычисление двугранных углов, углов между скрещивающимися прямыми и пересекающимися плоскостями, а также на вычисление расстояний от точки до плоскости, между скрещивающимися прямыми, прямой и параллельной ей плоскостью и параллельными плоскостями. В данной статье будут рассмотрены примеры решения таких задач, встречающихся на ЕГЭ, с применением метода координат.

Пример 1. В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 3. На ребре AA₁ отмечена точка E так, что AE : EA₁ = 1 : 2. Найдите угол между плоскостями ABC и BED₁.

Если в задаче приходится иметь дело с прямоугольным параллелепипедом, правильной четырехугольной призмой или даже кубом – значит, метод координат как нельзя лучше подходит для решения, поскольку перечисленные многогранники отлично вписываются в прямоугольную систему координат.

Для решения задачи сделаем чертеж, но отметим, что он выполняется исключительно для того, чтобы правильно выбрать систему координат и задать уравнения соответствующих плоскостей. Непосредственно для решения задачи чертеж использоваться не будет. Заметим еще, что при наличии определенного уровня навыков решения подобных задач ученики могут и вовсе обойтись без чертежа.

Наиболее удобно в данной задаче представляется в качестве начала координат выбрать точку A, а координатные оси направить вдоль ребер AD, AB и AA₁. Нетрудно видеть, что AE = 1, EA₁ = 2. При таком выборе системы координат запишем координаты точек, через которые будут проходить данные в задаче плоскости: A(0;0;0), B(0;0;2), C(2;0;2), E(0;1;0), D₁(2;3;0).

Далее следует написать уравнения плоскостей ABC и BED₁:

, .

Векторы и перпендикулярны плоскостям ABC и BED₁ соответственно. Значит, угол между плоскостями численно равен углу между этими векторами, который найдем с помощью скалярного произведения:

Таким образом, .

Обратим внимание на то, что при «классическом» решении этой задачи пришлось бы сначала строить сам угол между данными плоскостями, а затем его вычислять. Используя же координатный метод, мы ограничились лишь вычислениями. Также решение задачи могло опираться и на теорему о площади ортогональной проекции многоугольника. Однако это также вызвало бы определенные трудности с построением чертежа.

Пример 2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E и K – середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

При решении данной задачи удобно выбрать начало координат в центре основания пирамиды, ось направить перпендикулярно основанию, а оси и – параллельно сторонам основания.

Найдем координаты точек A, B, E и K в полученной системе координат:

Угол между прямыми AE и BK равен углу между векторами и , косинус которого найдем через скалярное произведение:

Отметим, что в данной задаче с помощью метода координат удалось вычислить угол между скрещивающимися прямыми.

Пример 3. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD основание ABCD – квадрат со стороной 6, а боковое ребро равно 9. На ребре SA отмечена точка M так, что SM = 6. Найдите расстояние от вершины S до плоскости BCM.

В данной задаче систему координат выберем так же, как и в предыдущей. В таком случае , , , . Тогда уравнение плоскости BCM будет иметь вид .

Расстояние от точки S до плоскости BCM вычислим по известной формуле:

Рассмотренные примеры в полной мере демонстрируют превосходство метода координат перед остальными методами решения задач стереометрии. Однако нужно понимать, что этот метод не всегда удобен в применении, хотя и является своего рода универсальным.