Несколько способов решения одной геометрической задачи

Содержание.

1. Введение.
2. Методы решения геометрических  задач
3. Примеры решения задач данными методами
4. Заключение.
5. Литература.

Введение.

В наше время, в условиях развития рыночной экономики, когда наблюдается небывалый рост объема информации, от каждого человека требуется высокий уровень профессионализма и такие деловые качества как предприимчивость, способность ориентироваться, быстро и безошибочно принимать решения, а это невозможно без умения работать творчески.

Математика является наиболее удобным предметом для развития творческих способностей. Этому способствует логическое построение предмета, четкая система упражнений для закрепления полученных знаний и абстрактный язык математики.

В своей работе я рассмотрела различные методы решения геометрических задач и применение данных методов к решению одной геометрической задачи. Во-первых, эта тема меня очень заинтересовала, когда мы проходили её на уроках геометрии, и я решила узнать больше о методах решения. Во-вторых, методы решения геометрических задач занимают особое место в математике, поскольку решение их вызывает определенные трудности у учеников и абитуриентов.

I.Методы решения геометрических задач.

Говоря о поисках решения геометрической задачи, приходится иметь ввиду, что существуютразличные методы её решения. Поэтому поиски прежде всего следует направить на выбор конкретного метода. Условно их можно разбить на следующие группы:

§1. Традиционный метод.

Связан с использованием соотношений в треугольнике и круге, признаками равенства и подобия и др. Часто приходится проводить дополнительные построения, например, описанные окружности.

§2. Метод геометрических преобразований.

Связан с применением преобразований плоскости и пространства (параллельный перенос, симметрия, гомотетия и т.п.).

§3. Векторный метод.

Связан с использованием векторов, в частности скалярного и векторного произведений.

§4. Тригонометрический метод.

Использует применение тригонометрии, теорем синусов и косинусов.

§5. Переформулировка задачи.

Замена задачи другой, эквивалентной данной.    

 Перечисленные методы могут пересекаться, в одном решении может применяться несколько методов. Например, можно заменить исходную задачу другой, которую решают с помощью векторов и преобразований.

При решении геометрических задач полезно показать, что рассматриваемую задачу можно решить различными методами, и если один способ не приводит к цели или слишком громоздок, то лучше обратиться к другому. «Лучше решить одну задачу несколькими методами, чем несколько задач - одним» (Д.Пойя).

II.Примеры решения задач данными методами.

Прежде чем перейти к рассмотрению выбранной мною задачи, хотелось бы показать, как происходит поиск решения на примере, используя некоторые из вышеперечисленных методов.

З а д а ч а. Треугольники АВС и А₁В₁С₁ не имеют общих точек, кроме вершины С, и   ∟АСА₁ =∟  ВСВ₁ = 90°, СА=СА₁, СВ=СВ₁. Доказать, что медиана СD треугольника АВС перпендикулярна прямой А₁В₁.

Заметим прежде всего те свойства фигуры, которые сразу бросаются в глаза:

1°. Треугольники АСА₁ и ВСВ₁ прямоугольные и равнобедренные.

2°.  ∟АСВ + ∟ А₁СВ₁ = 180°.

Рассмотрим различные способы использования  этих свойств.

Способы решения - смотри документ.

III. Решение другой  геометрической задачи несколькими способами.

Ниже предлагаются восемь  решений одной красивой геометрической задачи. Кроме вышеперечисленных методов, здесь используются и другие, с помощью которых также можно решить рассматриваемую мною задачу.

З а д а ч а. На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС построен квадрат ABDE  в той полуплоскости от прямой АВ, которой не принадлежит треугольник АВС. Найти расстояние от вершины С прямого угла до центра квадрата, если катеты ВС и АС имеют соответственно длины a  и b.

Способы решения - смотри документ.

Заключение.

В своей работе я рассмотрела различные способы решений двух  задач, используя известные методы. Анализируя все решения, я сделала для себя важные выводы. Во-первых, благодаря такой работе снимается психологический барьер перед поиском решения задачи. Ведь если знаешь, что задача имеет несколько способов решения, то смелее берешься за неё. Постепенно, решая задачу за задачей, приобретаешь некоторый опыт, что позволит развить математическое чутье. Во-вторых, подробный разбор способов решения задач является хорошим подспорьем для того, чтобы освежить в памяти пройденный материал. В-третьих, при такой работе над задачей формируется логическое мышление, развивается интуиция, систематизируются знания, расширяется общеобразовательный кругозор. В-четвертых, овладевая основными методами решения задач, составляющими важную часть многих эвристических алгоритмов, можно рационально планировать поиск решения задачи, выполнять полезные преобразования условия задачи, а также использовать известные приемы познавательной деятельности – наблюдение, сравнение, обобщение.

Все перечисленное создает условия для формирования навыков исследовательской деятельности, способствующей накоплению творческого потенциала.

Литература.

1. Л.Р. Шикова. «Исследовательская деятельность школьников в процессе решения геометрических задач». «Математика в школе.»№4, 1995.
2. Я.П.Понарин. «Задача одна – решений много».  «Математика в школе» №1,1992.
3. Д.Ф.Изаак. «Поиски решения геометрической задачи». «Математика в школе»№6,1998.
4. В.А.Филимонов, Т.Н.Фисенко. «Об одном подходе к изучению геометрии в средней школе». «Математика в школе» №1,1997
5. Д.Пойя. «Как решать задачу». М.,1959.
6. Д.Пойя. «Математическое открытие». М., 1970.
7. Э.Г.Готман, З.А.Скопец. «Задача одна - решения разные».Рад. шк.,1988
8. Е.И. Лященко, В.П. Радченко, Е.Ф. Фофилова «Обучение решению задач»  метод. Рекомендации.Архангельск., 1992
9. Л.М. Фридман,  Турицкий: Как научиться решать задачи . М, 1989. задач, используя известные методы. Анализируя все решения, я сделала для себя важные выводы. Во-первых, благодаря такой работе снимается психологический барьер перед поиском решения задачи. Ведь если знаешь, что задача имеет несколько способов решения, то смелее берешься за неё. Постепенно, решая задачу за задачей, приобретаешь некоторый опыт, что позволит развить математическое чутье. Во-вторых, подробный разбор способов решения задач является хорошим подспорьем для того, чтобы освежить в памяти пройденный материал. В-третьих, при такой работе над задачей формируется логическое мышление, развивается интуиция, систематизируются знания, расширяется общеобразовательный кругозор. В-четвертых, овладевая основными методами решения задач, составляющими важную часть многих эвристических алгоритмов, можно рационально планировать поиск решения задачи, выполнять полезные преобразования условия задачи, а также использовать известные приемы познавательной деятельности

    

   Вс