Методическая разработка "Целые уравнения"

Методическая разработка урока

по теме «Целые уравнения»

Цель урока: Обобщить и систематизировать знания о целых уравнениях и методах их решений.

Задачи урока:

1.      Образовательные: дать понятие целого уравнения и его степени; научить приему решения целых уравнений 3-й степени аналитическим и графическим способами; актуализировать опорные знания решения квадратных уравнений, построения графиков функций,

2.      Развивающие: развивать умения в применении знаний в конкретной ситуации; логическое мышление, умение работать в проблемной ситуации; умение обобщать, конкретизировать, правильно излагать мысли; развивать самостоятельную деятельность учащихся.

3.      Воспитательные: воспитывать интерес к предмету через содержание учебного материала; умение работать в коллективе, взаимопомощь, культуру общения, умение применять преемственность в изучении отдельных тем; воспитывать настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемных ситуациях

Используемые педагогические технологии, методы и приемы:

технология интерактивного обучения.

Методы: метод программированного обучения, объяснительно-иллюстративный, метод ролевой игры

Приемы: беседа, самостоятельная работа, работа в парах.

Оборудование: Мультимедийный проектор, компьютер, экран

Ход урока

1. Орг. Момент

(Вводно-мотивационная часть, с целью активизации деятельности учащихся)

Эпиграфом этого урока, я взяла слова Адольфа Дистерверга (немецкого педагога, который преподавал физику и математику):

«Развитие и образование ни одному человеку не могут быть даны или сообщены. Всякий должен достичь этого собственной деятельностью, собственными силами, собственным напряжением».

На уроке мы докажем верность этого высказывания.

II. ПОВТОРЕНИЕ (фронтальный опрос)

1. Запишите

формулу разности квадрата.

квадрат разности.

формулу дискриминанта и его корней.

а -b = (a –b) (a +b )

(a –b) = (a- b) (a -b)

(a –b) = а -2ab + b

_{D= b} - 4 a c, x₁ = ; x_{2 =}

_{2.Теорему ВИЕТА и обратную теорему}

_{Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.}

_{х1+х2=-р и х1*х2=g}

_{обратная теорема Если числа m и n таковы, что их сумма равна –р, а произведение равно G, то эти числа являются корнями уравнения}

3. Охарактеризуйте график функции.

а) у=-5х+10

Это линейная функция, убывающая на множестве действительных чисел, так как k= -5. Графиком является прямая, сдвинутая вверх по оси Оу на 10 единиц.

б) у= -2/х

Это обратная пропорциональность. D(у)= R, х‡ 0. Графиком функции является гипербола, состоящая из двух ветвей, расположенных во второй и четвертой координатных четвертях, так как k= -2, не пересекающих оси координат.

в) у=х²-9

Это квадратичная функция, D(у)= R. Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, так как а=1. График симметричен относительно оси Оу и сдвинут вниз по оси Оу на 9 единиц.

г) у=х³

Это кубическая парабола, расположенная в 1 и 3 четвертях. Д(у)=R График симметричен относительно начала координат.

д)у=(2х+5)².

Это квадратичная функция. Д(у)=R.Графиком функции является парабола ветви которой направлены вверх. График сдвинут влево по оси х на 5 единиц

е) у=(3х-2)²+4

Это квадратичная функция. Д(у)=R. Графиком является парабола ветви которой направлены вверх. График сдвинут по оси х влево на 2 единицы и вверх на 4единицы

III. Устная работа.

Учитель: Ребята что вы видите на карточках?.(Уравнения)..

А что с уравнениями обычно делают? (решают).

А что значит решить уравнение?... (найти его корни или доказать что корней нет)

Что называется корнем уравнения? ….(значение переменной , при котором уравнение обращается в верное равенство)

Приложение №1

1. Разложите на множители:

а) 169-36x²; в) 5x-x²;

б) 1-6x+9x²; г) x(x-1)+x²(x-1).

1. Решите уравнение:

1)x²-6x+9=0 3)x²-8x+15=0

2) x²-5x+6=0 4)2x²+4x-30=0

5) 3x²+6x-72=0

Ребята давайте посмотрим на уравнения на слайде

На какие группы вы могли бы их разделить?(неполные квадратные, линейные, дробно-рациональные, уравнения третьей степени и четвертой степени).

Способы решения этих уравнений мы знаем?

Давайте устно решим эти уравнения.

В этих уравнениях мы будем использовать…(формулы сокращенного умножения, теорему ВИЕТА, формулу Дискриминанта)

Учитель: А теперь, ребята, попробуем указать из рациональных уравнений те, которые не являются целыми.

Ученики: Называют целые и дробно-рациональные уравнения.

Учитель: Давайте сформулируем определение целого уравнения…и дробно-рационального (если не помнят, открыть учебник стр.245 п. 14)

Ученики: Если левая и правая части представляют собой целые выражения, то это уравнение называется целым.

Учитель: Итак, тема нашего урока: “Целое уравнение и его корни” Сегодня мы познакомимся с определением целого уравнения вида Р(х)=0, узнаем как определить степень уравнения, рассмотрим способы решения целых уравнений третьей степени.

Откройте тетради. Запишите дату и тему урока

III. Изучение нового материала

Учитель: Ребята в начале урока мы с вами решали устно уравнения. Давайте вновь вернёмся к ним и укажем степени этих уравнений. А степенью целого уравнения называется степень равносильного ему уравнения вида Р(х) = 0, где Р(х) – многочлен стандартного вида. А что называется степенью многочлена?...

Ученики: Наибольший показатель степени переменной входящей в уравнение называется степенью уравнения.

Учитель: Ребята, а какова степень знакомых нам уравнений? ………

Учитель: А кто помнит, какова цель нашего урока?

Ученики: Научится решать целые уравнения

Учитель: Совершенно верно! И так, начнём решать целые уравнения. Откройте учебник и найдите № 267 (а, б, в). Посмотрите на данные уравнения! Чем они отличаются?.... Как вы думаете, с чего можно начать решение каждого из этих уравнений?... Запишите в тетрадь решении уравнения, ребята сидящие на 1 ряду (1 вариант) – под буквой «а», на втором ряду ( 2 вариант) – под буквой «б», и ребята сидящие на 3 ряду ( 3 вариант) – под буквой «в».

Учитель: Кто справился с заданием? Кто решил своё уравнение, приступайте к решению любого из оставшихся уравнений. А для тех, у кого возникли вопросы воспроизведём решение на доске. Кто сможет записать решение на доске? Пожалуйста, выходите!..... Первым справился …..Прокомментируй свое решение и т.д.

а)(6 – х)(х+6) – (х–11)х=36, б) – = 0, в) 9х² – =1,

36 – х² – х² + 11х – 36=0, = 0, 36х²–(36х² –33х+96–88)– 4=0

– 2х² + 11х = 0, т.к. 55 ≠ 0, 36х²–36х² +33х–96х+88 – 4=0

х (11 – 2х) = 0, 5 – 15у -33 + 11у = 0, – 63х = – 84,

х₁ = 0 и 2х₂ = 11, -4у = 28, х= = 1

х₂ = 5,5 у = –7

Ответ: 0; 5,5 Ответ: – 7 Ответ: 1 .

Учитель: Ребята? У кого аналогичное решение, поднимите руку!... Молодцы! Все решили данные равнения .

Учитель: Уравнения ребята бывают 1, 2, 3, 4, и более высоких степеней. Мы с вами большей частью решаем уравнение I, II иногда III степени.

Давайте вспомним сколько корней может иметь уравнение 1 степени и 2 степени

Давайте решим уравнение I степени и узнаем, сколько оно может иметь корней. Кто знает, называет вслух решения уравнения…..

(На слайде):  2x-5=10, 0·х = 7

Учитель: Решили? Сделайте вывод … Сколько корней может иметь уравнение I степени?

Ученики: Не более одного.

Учитель: Рассмотрим уравнения на следующем слайде . Запишите в тетрадях решение: 1 ряд – 1 вариант, 2 ряд – 2 вариант, 3 ряд – 3 вариант. ….

(На слайде)

Учитель: Проверим … А теперь хором ответьте на вопрос: Сколько корней может иметь каждое уравнение II степени?

Ученики: Не более двух.

Учитель:.Выясните: сколько корней может иметь уравнение III степени?

1 ряд – 1 вариант, 2 ряд – 2 вариант, 3 ряд – 3 вариант

(На слайде)

А теперь проверим. ..Кто запишет на доске решение своего уравнения? …..Итак, сколько корней может иметь уравнение III степени?

Ученики: Не более трёх.

Учитель: Существуют также и уравнения более высоких степеней. Это уравнения 4 степени, 5 степени. А сколько они могут иметь корней?

То есть уравнение n-й степени может иметь не более n-корней.

   IV.  Релаксация.

 (На экран проектируется картина золотой осени. Звучит лёгкая музыка.).

Учитель предлагает детям немного отдохнуть и произносит следующее: «Сядьте поудобнее, расслабьтесь. Представьте, что вы идёте по осеннему парку. Поднимите руки вверх, сделайте глубокий вдох; опустите руки, медленно делайте выдох. Вокруг стоят деревья с золотыми и багряными листьями. Сквозь кроны деревьев пробиваются лучи солнца. Воздух прозрачен и чист. Сразу вспоминаются строки из стихотворения А.С. Пушкина:

 «Унылая пора! Очей очарованье!

Приятна мне твоя прощальная краса –

Люблю я пышное природы увяданье,

В багрец и золото, одетые леса…»

Сделайте глубокий вдох и медленно делайте выдох. Ещё раз вдох и выдох… Раз, два, три… Закончили».

Давайте посмотрим на целые уравнения в учебнике на стр. 72

После преобразований 1-е уравнение привели к виду ….

Это уравнение пятой степени.

После преобразований 2-е уравнение привели к виду …

Это уравнение четвертой степени.

Для уравнений третьей и четвертой степеней известны формулы корней, но эти формулы очень сложны и громоздки и не имеют практического применения. Для уравнений пятой и более высоких степеней общих формул не существуют и существовать не может (как было доказано в 19 веке Н.Абелем и Э.Галуа)

Будем называть уравнения третьей и четвертой степеней уравнениями высоких степеней. Один из способов решения уравнения третьей степени мы уже использовали – способ разложения на множители. Сегодня мы познакомимся с еще одним способом решения. А уравнения четвертой степени будем учиться решать на следующем уроке.

Но сначала решим уравнения и расшифруем фамилию ученого-математика, который вывел формулы корней кубического уравнения и фамилию ученого-математика, который вывел формулы корней уравнения четвертой степени.

1)    Решите уравнение; если корней несколько, расположите их в порядке возрастания и расшифруйте фамилию ученого-математика, который вывел формулы корней кубического уравнения.

а) 7х +2 = 44; (6)

х(х + 4)(х – 3) = 0; (- 4; 0; 3)

х² + 3х – 4 = 0; (- 4; 1)

х² – 4х + 4 = 0. (2)

Джероламо Кардано, итальянский ученый.

2)    Решите уравнение; если корней несколько, расположите их в порядке возрастания и расшифруйте фамилию ученого-математика, который вывел формулы корней уравнения четвертой степени.

б) х³ + 6х² + 5х = 0;(- 5; - 1; 0)

3(х + 5) = 15; (0)

х(х+4)(х-7)=0

Лудовико Феррари (XVв), ученик Кардано.

Давайте разберем в учебнике на стр 74 ПРИМЕР2

Закрепить данный способ №276

Мы с вами сегодня решали уравнения аналитическим способом, но существует не только этот способ. Прежде чем с ним познакомится, вспомним известные нам функции и их графики! Из списка функций приведенного на доске выберите функцию, соответствующую данному графику. Запишите в тетради данные соответствия

V.  Подведение итогов.

Учитель. Подводя итог нашего урока, вернемся к плану изучения темы и постараемся самостоятельно ответить на вопросы:

• Какие уравнения называются целыми?

• Что называется степенью уравнения?

• Сколько корней имеет уравнение n-й степени?

• Методы решения уравнений третьей степени.

-Чтобы проверить насколько успешно вы научились применять теорию к практике, выполните небольшой тест.

VI. Домашнее задание: