Методическая разработка проектных заданий и исследовательских работ по математике по теме "Объем шара и площадь сферы"

Ход урока

4 Объем шарового сегмента, шарового слоя, сектора

Систематизировать знания умения и навыки по данной теме

Совершенствовать навыки решения задач на применение формул для вычисления объемов частей шара

5 Площадь сферы

Вывести формулу для вычисления площади поверхности шара

Полную информацию смотрите в файле. 

Российский Государственный Педагогический Университет имени А.И. Герцена

Методическая разработка на тему:

Объем шара и площадь сферы

Студентка 1 курса магистратуры Сузи А.А.

Тема: Объём шара и площадь сферы

Данная тема рассматривается в курсе геометрии 11 класса (в учебниках Погорелова и Л.С. Атанасяна). В методическом планировании на её изучение отводится 8 часов. В своей методической разработке я буду пользоваться учебником Геометрии 10-11 авторов: Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузов и др.

Методическое планирование темы: «Объем шара и площадь сферы»

УРОК №1. Тема «Объем шара»

Цели урока: Ввести формулу объема шара, показать ее применение при решении задач

Развитие логического мышления, умения анализировать

Учащимся предлагается рассмотреть следующую задачу:

На надгробном камне могилы Архимеда в Сиракузах изображен цилиндр с вписанным в него шаром. Это символ открытия формул объема шара и площади сферы, а так же важного вывода, что «объем шара, вписанного в цилиндр, в … раза меньше объема цилиндра и что также относятся поверхности этих тел»

Мы можем с вами решить эту задачу и узнать над, чем работал Архимед?

А что мы уже знаем про такую геометрическую фигуру как шар ?

- Мы уже рассматривали формулы для вычисления объемов некоторых многогранников и круглых тел.

- Давайте вспомним, и вы запишите на доске уже известные нам формулы объемов.

V призмы =S*Η

V цилиндра =Sосн. *Η=πR² Η

V конуса = ⅓πRΗ

V пирамиды = ⅓Sосн.Η

Задумывались ли вы над таким вопросом: как давно появились эти формулы, и кто первым открыл их?

Еще до нашей эры формулы объемов многих тел (параллелепипеда, призмы и цилиндра) были известны. Позднее, благодаря трудам древнегреческих ученых Демокрита, Евклида и Архимеда были открыты формулы для вычисления объемов пирамиды, конуса, шара и других тел. В современных учебниках формулы для вычисления объемов пирамиды конуса и шара выводятся на основе интегральной формулы. Но этот простой, и изящный способ появился благодаря трудам И. Ноготыса и Г.Лейбница гораздо позднее того, как были открыты сами формулы. Изучим и мы доказательство формулы объема шара.

Теорема Объем шара радиуса R равен ⁴/₃ πR³

Д-во

Для доказательства используем метод координат,

который ввел в геометрию Р. Декарт.

Рассмотрим шар радиуса R с центром в тоске О и

выберем ось ох произвольным образом. Сечение шара

плоскостью перпендикулярной ох, является круг с

центром в точке М. Обозначим площадь сечения S (x),

где х – абсцисса точки М.

Из ∆ОМС R= ОС² - ОМ² = R² – х² .

Тогда S (x)=πR²=π(R²- х²), где -R≤ х ≤R.

V = ∫ S (x)dx=∫ π(R²- х²) dx= πR²x| -πx³/3| =⁴/₃ πR³

Теорема об объеме шара доказана.

А как Вы думаете, как измениться формула объема шара?

Как связаны между собой радиус и диаметр? V=1/6πD³

А сейчас нам хватает знаний, чтобы решить задачу с надгробного камня?

№ 710 (а,б)

а) Дано: шар, R=4 см

Найти S,V

Решение: S=4 πR^{2 ,} S =4*(4)²π=64π см²

V=⁴/₃ πR³=⁴/₃ π(4) ³=256/3 π см³

б)Дано: шар, V= 113,04 см³

Найти: R, S

Решение V=⁴/₃ πR³ ⁴/₃ πR³=113,04 R³=84,78/π R=

S=4 πR² S=

№ 712

Дано Vшара=Vцил., Dшара =Dцил.

Выразить H цил. через R

Решение:

⁴/₃ πR³= πR² H

H=⁴/₃ R

Диагностическая самостоятельная работа

Подведение итогов урока:

-Обсуждение самостоятельной работы

- Что нового узнали сегодня?

Домашнее задание:

Предлагаю разделиться учащимся на следующие группы: «математиков», «географов-астрономов», «биологи-химики», «искусствоведы». «Шар и сфера»- это просто геометрические понятия или нечто большее? Постарайтесь найти информацию про данные объекты в вашей области науки

П. 71 № 710 а, 711, 713

Дополнительная задача(для мотивированных учащихся)Из деревянного цилиндра выточен наибольший возможный шар(высота и диаметр у цилиндра совпадают). Сколько процентов материала сточено.

УРОК №2 Тема: «Объем шара»

Цели урока: Совершенствовать навыки решения задач на применение формулы для вычисления объема шара

Ход урока:

Актуализация знаний:

Один ученик выводит формулу для вычисления объема шара

Остальные обсуждают итоги диагностической самостоятельной работы

Фронтальная работа со всем классом : Для Вычисления объема шара ученик предложил свою формулу:

V = 2∫ π(R²- х²) dx

Какие он должен дать пояснения, подтверждающие правильность этой формулы?

Разобрать и решить задачи(Один ученик у доски остальные в тетрадях)

Задача1.

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 10√3, а угол боковой грани с плоскостью основания равен 60º. Найдите объем шара, вписанного в пирамиду.

Задача2.

В шар вписана правильная треугольная призма так, что ее высота вдвое больше стороны основания. Найдите объем шара, если объем призмы равен 27/ π

Задача2.

В конус, осевое сечение которого равносторонний треугольник, вписан шар. Найдите объем шара, если объем конуса равен 27.

Подведение итогов урока:

Домашнее задание:

№ 753,754+ Доп.Задачи:

№1 Внешний диаметр полого шара 18 см, толщина стены 3 см. Найдите объем материала, из которого изготовлен шар.

№2. Диаметр свинцового шара равен 30 см. Сколько шариков, диаметром 3 см, можно сделать из этого свинца?

Индивидуальная консультация групп

УРОК №3 Тема: Объем шарового сегмента, шарового слоя, сектора

Цели урока: Познакомить учащихся с формулами для вычисления объемов частей шара.

Развитие логического мышления, навыков работы в группах, формирование навыков продуктивного делового взаимодействия и принятия групповых решений.

Ход урока:

Предварительно класс разбиваем на 3 группы. В каждой группе выбирается ученик, отвечающий за работу в группе. На каждом столе готовые таблицы, заполняемые по ходу урока.

Рассматриваются понятия: шаровой сегмент, шаровой слой и шаровой сектор. На доске по готовым изображениям, учащиеся групп поясняют эти понятия для всех.

Каждая группа демонстрирует выводы формул на доске и отвечает на вопросы учащихся (в этом случае могут помогать все члены данной группы).

Каждая группа получает задачи № 716, 718,721 и таблицы, заполняются по мере решения задач.

На доске записываются решения задач по мере их выполнения группой.

Итоги урока: В группах выставляется оценка каждому участника + он сам должен оценить свою работу. Предлогается высказать свое мнение о проведенном уроке.

Домашнее задание: №715, 717, 720

Дополнительная задача: Диаметр шара, равный 30 см, служит осью цилиндра, у которого радиус основания равен 12 см. Найдите объем части шара, заключенный внутри цилиндра

УРОК № 4 Тема: Объем шарового сегмента, шарового слоя, сектора

Цели урока: Систематизировать знания умения и навыки по данной теме

Совершенствовать навыки решения задач на применение формул для вычисления объемов частей шара

Ход урока:

Актуализация знаний:

Теоретический опрос. Фронтальная работа с классом.

А в это время оформление домашнего задания на доске.

Решение задач:

1. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит его на части 3 см и 9 см. На какие части делится объем шара?

2. Найдите отношение сегментов из предыдущей задачи

3. Какую часть шара составляет объем шарового сегмента, у которого высота равна 0,1 диаметра шара?

Дифференцированная самостоятельная работа:

Подведение итогов урока

Домашнее задание № 917, 756

Дополнительная задача: Диаметр основания конуса равен 6 см, образующая наклонена к плоскости основания под углом 60º. Найдите объем шара описанного около конуса сферы.

УРОК № 5 Тема урока: Площадь сферы

Цели урока: Вывести формулу для вычисления площади поверхности шара

Научить учащихся применять эту формулу при решении задач

Ход урока:

Анализ самостоятельной работы.

Актуализация знаний

Изучение нового материала. Выводим формулу площади сферы.

Закрепление изученного материала.

Вопросы 12,13 и 14 к главе VII

№ 719, 722

Подведение итогов урока

Домашнее задание: №723, 724, 755

УРОК №6 Практикум по решению задач по темам: «Объем шара и его частей» «Площадь сферы»

Цели урока: Систематизировать теоретические знания по темам «объем шара и его частей» и «Площадь сферы»

Совершенствовать умения и навыки решения задач

Обобщить изученный материал

Подготовит учащихся к контрольной работе

Ход урока:

Теоретический диктант (с последующий взаимопроверкой)

Вписать в текст недостающие по смыслу слова

Ответы вывешиваются на экран:

Индивидуальная работа по карточкам (3 ученика самостоятельно)

Карточка 1.

Плоскость перпендикулярна диаметру шара, делит его на части 3 см и 9 см. Найдите объем шара.

Карточка 2.

Два равных шара расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Как относится объем общей части шаров к объему целого шара?

Карточка 3.

Какую часть объема шара составляет объем шарового сегмента, у которого высота равна 0,1 диаметра шара, равного 20 см?

С остальным классом проверяем решение домашнего задания.

Задачи на карточках оформляем на доске с проверкой.

Дополнительные вопросы:

1. Записать уравнение сферы радиуса R с центром С (х1, х2, х3) в прямоугольной системе координат.

2. Что называется касательной плоскостью к сфере?

3. Как расположена касательная плоскость и радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости?

Решите задачи:

Чему равен объем шарового сектора, если радиуса окружности основания равен 60 см, а радиус шара 75 см.

Дифференцированная самостоятельная работа.

Проверить самостоятельную работу.

Домашнее задание: Подготовиться к контрольной работе.

Выдается формулировка задач всем учащимся:

1. Объем шара равен 36π см³. Найдите его радиус.

2. Объем двух шаров относится как 8:1. Найдите отношение их радиусов.

3. В шар вписан куб со стороной а. Найдите объем шара.

4. Площадь диагонального сечения куба, вписанного в шар, равна S. Найдите объем шара.

5. Диаметр шара радиуса 15 см разделен на 3 части, длины которых относятся как 2:3:5. Через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные диаметру. Найдите объем образовавшегося шарового слоя.

6. Нужно отлить свиной шар диаметром 3 см. Имеются свинцовые шарики диаметром 5 мм. Сколько таких шариков надо взять?

Индивидуальная консультация групп, демонстрация и корректировка готового материала

УРОК № 7 Контрольная работа по темам: «Объем шара и его частей» «Площадь сферы»

Цели урока: Проверить знания умения и навыки учащихся при решении задач с применением формул нахождения объемов шара, его частей и площади сферы.

Домашнее задание: Приготовить выступления к зачему.

УРОК № 8 Зачет по теме: «Объем шара и его частей» «Площадь сферы»

Цели урока: Систематизировать теоретические знания по теме «Объем шара, его частей» и «Площадь сферы»

Обобщить изученный материал

Увеличить кругозор учащихся

Учащихся на первом уроке по данной теме разделили на группы: «математиков», «географов-астрономов», «биологи» и «искусствоведы». В течение 3 недель каждая группа готовила выступления и подбирала материал под руководством учителя. На последнем занятии учащиеся демонстрируют свои презентации.

«Математики» Обобщают теоретические знания по теме + сравнивают определения шара и сферы из учебника и «геометрии Киселева»

«Географов-астрономов» Рассказывают про нашу планету и почему она имеет форму шара?

«Биологи» Форму шара имеют некоторые цветы, фрукты и овощи, животные.

«Искусствоведы» Картины с изображением шаров, предметы архитектуры.

Итоги урока: Каждая группа должна оценить другие и поставить оценку.