Математические интегралы

Если вы только-только приступили к изучению интегрального исчисления либо неважно в нём ориентируетесь, то я не рекомендую сразу набрасываться на информацию данной страницы. Почему? Классический научный подход предполагает: а) изучение теории, б) решение практических заданий. Всё вроде бы правильно и логично, но… многие по себе знают, как скучно, а порой и тошно вникать в малопонятные определения, свойства, теоремы и как хочется поскорее захлопнуть учебник, конспект – чтобы всего этого больше никогда не видеть. Объяснение очевидно: теоретические знания наиболее эффективно усваиваются через практику. И это закономерно – сама наука своей бОльшей частью сформировалась на основе конкретных примеров из реальной жизни.

Поэтому сначала лучше ознакомиться с основной сутью и терминологией раздела,  а также научиться решать. Хотя бы немного, хотя бы чуть-чуть. Следующие три урока позволят вам быстро освоить начальный уровень по неопределённому интегралу:

Неопределённый интеграл. Примеры решений;
Метод замены переменной;
Интегрирования по частям.

Базовые знания по определённому интегралу можно почерпнуть в следующих статьях:

Определённый интеграл. Примеры решений; 
Вычисление площади с помощью определённого интеграла.

Далее буду предполагать, что вас не поставят в тупик элементарные термины и простейшие интегралы. Кроме того, желательно ПОНИМАТЬ, что такое предел функции, бесконечно малая величина и производная – только тогда чтение будет по настоящему увлекательным, а усвоение материала – качественным. Возможно, требования повергли «чайников» в уныние... однако опускать руки не нужно – все пробелы закрываются в кратчайшие сроки!

Первообразная функция, неопределённый интеграл и его свойства

К понятию первообразной функции приводят многие задачи математического анализа и физики. Рассмотрим былинный физический пример: известен закон изменения скорости тела , требуется найти закон изменения координаты  данного тела.

Скорость – это производная от пройдённого пути:  (см. урок о смысле производной), таким образом, для решения задачи необходимо по заданной функции  (производной) восстановить функцию .

Общая же постановка вопроса такова: в распоряжении есть некоторая функция  и возникает потребность выяснить, от какой функции она произошла. То есть, необходимо найти ТАКУЮ функцию , чтобы .

Определение: функция  называется первообразной для функции  на некотором промежутке, если для всех  из этого промежутка выполняется равенство  или, что то же:  (раскрывать дифференциал мы научились ещё на первом уроке о неопределённом интеграле).

Например, для  первообразной функцией на всей числовой прямой будет являться функция . И действительно, для любого «икс»:
.

Простое, но требующее доказательства утверждение:

Теорема: пусть  – какая-нибудь первообразная для функции  на некотором промежутке. Тогда функция , где  – произвольная константа, тоже будет первообразной функцией для  на данном промежутке.

Доказательство: поскольку производная константы равна нулю, то:
, следовательно,  – первообразная для функции  по определению первообразной, что и требовалось доказать.

Так, для функции  первообразной будет являться любая функция из множества , где  (мысленно поподставляйте конкретные числовые значения).

Докажем обратное утверждение: любая другая первообразная  для функции  отличается от  лишь на приплюсованную константу, иными словами: .

Вот это уже менее очевидный факт. И в самом деле – вдруг для функции  существует не только , а какая-нибудь ещё первообразная?

Пусть  – это две первообразные для функции  на некотором промежутке. Тогда для любого «икс» из данного промежутка производная разности будет равна:

, или если записать короче:

Но с другой стороны, из дифференциального исчисления известно, что данному условию удовлетворяет функция-константа и только она:

Откуда и следует равенство , которое требовалось доказать. Таким образом, любая первообразная для функции  имеет вид 

Вуаля:

Определение: множество всех первообразных  для функции  называется неопределённым интегралом от функции  и обозначается символом . Таким образом, по определению:

, где 

Напоминаю, что функция  называется подынтегральной функцией,  – подынтегральным выражением, а сам процесс отыскания множества первообразных   – интегрированием. Интегрирование – это восстановление функции  по её производной  (обратное действие по отношению к дифференцированию).

Для нашего демонстрационного примера:
, где 

Проверка:  – исходная подынтегральная функция.

Любая ли функция интегрируема? Нет.

Сформулируем достаточное условие интегрируемости: если на некотором промежутке функция непрерывна, то она интегрируема на нём.

Как видите, условие довольно-таки лояльное – для существования первообразной достаточно лишь непрерывности. Ниже по тексту, если не сказано иного, все функции будем считать интегрируемыми.

Свойства неопределённого интеграла

Нумеровать крайне не люблю, но здесь лучшего варианта не видно:

1) Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению:

Доказательство: по определению неопределённого интеграла: , следовательно:
, что и требовалось доказать.

Второе. По правилу раскрытия дифференциала (а точнее, по определению дифференциала) и только что доказанному пункту:

Потёрто.

2) Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

Учитывая, что , свойство можно переписать в следующем виде:

Тут даже доказывать ничего не надо, поскольку  и получается непосредственно само определение неопределённого интеграла.

Как видите, в обоих случаях значки дифференциала и интеграла взаимно уничтожаются, что естественно.

Следующие свойства вам хорошо знакомы – это мировые свойства линейности, которые справедливы и для других типов интегралов: определённых, двойных, тройных, криволинейных и пр.

3) Константу можно вынести из-под знака интеграла

То есть, если , то 

Доказательство: а вы как думали? =)

Найдём производную левой части. Используем свойство №1:

Найдём производную правой части. Используем правило дифференцирования  и свойство №1:

Получены одинаковые результаты, из чего и следует справедливость данного свойства.

Вообще, многие доказательства не столько сложны, сколько занудны и формальны – используются определения, ранее доказанные свойства, теоремы и т.д. Но, несмотря на их сухость, немалая часть студентов входит во вкус и даже начинает читать учебники по высшей математике в любой свободный момент  =) Будьте осторожны =)

4) Неопределённый интеграл от алгебраической суммы  функций равен алгебраической сумме интегралов:

Справедливо для любого количества слагаемых.

Свойство проверяется точно так же, как и предыдущее – берутся производные от обеих частей. Но доказывать его я, пожалуй, не буду – хорошего понемножку =)

Перейдём к ещё более интересному разделу:

Определённый интеграл и его свойства

Настал момент, который все ждали, затаив дыхание. Что такое определённый интеграл  и почему он есть площадь? Да и откуда взялся сам значок интеграла? Вот мы много раз слышали: «интеграл, интеграл, интеграл, …». Но понятие же не из космоса прилетело! Читаем:

Пусть функция  определена на промежутке . Для определённости и простоты считаем, что функция положительна  и непрерывна на данном отрезке. Поставим задачу найти площадь  криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , прямыми  и осью . Обращаю внимание на тот факт, что непрерывность функции на отрезке заведомо гарантирует существование конечной площади .

Разобьём отрезок  на  частей следующими точками: 
 (красные точки):

В результате получено  частичных промежутков  с длинами  соответственно. В общем случае длины  различны – какие-то отрезки короче, какие-то длиннее. Максимальную длину называют диаметром разбиения и обозначают буквой «лямбда»: .

Примечание: последняя запись читается, как «максимальное значение из множества (набора) »

В каждом из полученных промежутков опять же произвольно выбираем точки  (синие квадратики).

Примечание:  («кси») – 14-я буква греческого алфавита

Рассмотрим  промежуток . Его длина, очевидно, равна  (зелёная обоюдоострая линия). Значению аргумента  соответствует значение  функции  (синие пунктирные линии), и произведение  в точности равно площади соответствующего коричневого прямоугольника.

Аналогично устроен каждый отрезок. Составим сумму, которая равна площади коричневой ступенчатой фигуры:

Данная сумма называется интегральной суммой, и её часто записывают в свёрнутом виде: 

Примечание: – это значок суммы, а переменная  – своеобразный «счётчик», т.е. сначала , затем , потом , … и, наконец, 

Что означает прилагательное «интегральной»? В широком смысле слова, интегрировать – это значит, что-то объединять. В данном случае интегральная сумма  объединяет площади коричневых прямоугольников и с некоторой точностью приближает площадь криволинейной трапеции: 

Теперь зададимся вопросом: как улучшить точность приближения? Действия очевидны  – увеличиваем и увеличиваем значение . При этом количество отрезков  растёт, а их длины  – уменьшаются, в том числе неизбежно уменьшается и максимальная длина . Количество точек  тоже возрастает и ступенчатая фигура всё больше и больше напоминает криволинейную трапецию.

И, если количество отрезков разбиения устремить к бесконечности , то интегральная сумма (площадь ступенчатой фигуры) будет стремиться к площади криволинейной трапеции: .

Таким образом, площадь криволинейной трапеции равна пределу интегральной суммы при диаметре разбиения, стремящемся к нулю:

Наблюдаем за удивительным превращением:

1) В рассматриваемом контексте сумму ещё с 17 века обозначали растянутой буквой S (Summa). Это обозначение известно как значок интеграла:

2) Если  (и, следовательно, ), то значения  стремятся «покрыть» все значения функции  из промежутка ,  то есть:

, при этом пределы интегрирования: 

3) И, наконец, длина любого промежуточного отрезка  становится бесконечно малой. Обозначение этой бесконечно малой длины мы тоже хорошо знаем, оно указывает, что объединение ведётся по переменной «икс»:

В результате, площадь криволинейной трапеции: 

Определение: конечный предел интегральной суммы  при , не зависящий ни от способа дробления отрезка , ни от выбора точек , называется определённым интегралом функции  по промежутку  и обозначается символом .

При этом функция  называется интегрируемой в промежутке . Для интегрируемости (а, значит, существования конечной площади), напоминаю, достаточно непрерывности функции на отрезке . Если же на данном промежутке есть участки, где функция, например, не определена (нет её графика), то конечного предела  и, соответственно, определённого интеграла  не существует.

По аналогичному принципу (дробление отрезка, выбор промежуточных точек, нахождение интегральной суммы, предел и предельный переход) выводятся другие тематические формулы: объема тела вращения, длины дуги кривой, площади поверхности вращения и т. д. Надеюсь, теперь вам будет значительно легче разобраться в соответствующем теоретическом материале.

Если что-то осталось недопонятым, текст следует не спеша перечитать заново либо вернуться к нему позже. Наиболее вероятные затруднения здесь связаны с альфой и омегой математического анализа – предельным переходом; в этом случае советую основательно проштудировать статьи о пределах и теории производной функции.

Всё было бы хорошо, но формулу  очень трудно применить на практике (даже для простых функций), поэтому возникает задача отыскания более эффективного пути расчёта площади. И такой путь действительно существует – ведь из определения определённого интеграла следует, что он не зависит от способа разбиения промежутка  и от выбора точек . Важен лишь только нижний предел интегрирования «а», верхний предел интегрирования «бэ» и сама функция «эф от икс».

Вывод формулы Ньютона-Лейбница

Рассмотрим тот же график  и познакомимся с функцией переменной площади . Что это за функция? Зафиксируем произвольную точку  (левая красная точка), лежащую между точками «а» и «бэ»:

В данной точке функция  равна площади криволинейной трапеции, которая расположена между зелёной и синей линиями и заштрихована синим цветом. Мысленно начните уменьшать значение «икс» и сдвигать синюю прямую влево – площадь начнёт уменьшаться и, в конце концов, в точке  станет равной нулю:  (прямые совпадут). Теперь возвращаемся на исходную позицию и сдвигаем синюю линию вправо – в этом случае площадь  начнёт расти. И когда мы достигнем верхнего предела  (синяя прямая «закроет» красную), площадь будет равна в точности площади всей криволинейной трапеции: .

Таким образом, аргумент может изменяться в пределах , при этом функция (площадь) будет возрастать от  до .

Докажем, что функция переменной площади  является первообразной функцией для функции ,  то есть докажем, что .

Вернёмся к нашей точке «икс» и зададим в ней приращение  (зелёная стрелка). Для определённости полагаем, что  (случай  доказывается аналогично). Приращение аргумента  влечёт приращение функции  – геометрически это площадь криволинейной трапеции, которая заштрихована голубым цветом.

По так называемой теореме о среднем, на отрезке  существует точка «цэ» – такая, что площадь коричневого прямоугольника равна площади голубой трапеции:

Примечание: этот участок чертежа схематичен, поскольку мне трудно подобрать идеально точное местоположение точки «цэ»

По определению производной, производная функции – это отношении приращения функции  к приращению аргумента  при :
.

И, ввиду равенства :

(*) Так как , то точка «цэ» бесконечно близко приближается к точке «икс», и, соответственно: 

Таким образом, для любого  из рассматриваемого промежутка справедливо равенство , означающее, что функция  является первообразной для функции .

По теореме, доказанной в самом начале урока, множество всех первообразных представимо в виде , где  – какая-нибудь другая первообразная для функции .

Теперь в данное равенство подставляем  и соответствующее значение площади :

, откуда следует, что 

Найденное значение константы  подставляем в :

Выруливаем на финишную прямую. При  функция  принимает значение, равное площади всей криволинейной трапеции: . Подставим  и  в уравнение :

Следует отметить, что в учебниках по высшей математике вывод этой формулы проводится в более солидном ключе – с помощью интеграла с переменным верхним пределом. Я же ограничился упрощенной версией доказательства, чтобы материал был понятен бОльшему количеству читателей.

Это ещё, кстати, не всё =) Завершаем мысль:

В предыдущем параграфе мы доказали, что площадь криволинейной трапеции – есть предел интегральной суммы: .

Но с другой стороны, .

И из этих двух фактов следует лаконичная формула Ньютона-Лейбница:
, где  – первообразная функция для функции .

Множество практических примеров на применение формулы можно найти в статьях Определённый интеграл. Примеры решений и Вычисление площади с помощью определённого интеграла, а также в последующих статьях раздела.

Рассмотрим основные свойства определённого интеграла

У меня нет цели копипастить учебники, и я остановлюсь только на тех свойствах, которые имеют существенное значение для практики. Нумерация, пожалуй, ни к чему:

– Свойство, которое уже фигурировало в предыдущем пункте: интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю: . Графическая интерпретация очевидна: криволинейная трапеция вырождается в отрезок, а площадь отрезка с геометрической точки зрения равна нулю.

– Свойства линейности:

Уважительно промолчим.

– Если у интеграла поменять местами пределы интегрирования, то он сменит знак:

Почему? Пусть для определённости . Тогда при перестановке пределов интегрирования разбиение отрезка  будет проводиться справа налево (вспоминаем ступенчатую фигуру 1-го чертёжа), и длины частичных промежутков формально станут отрицательными , поэтому интегральная сумма  и сам интеграл (как предел суммы) сменит знак.

Следует заметить, что на практике намного чаще пользуются вторым случаем – когда изначально , например:

Цель этих действий – расставить пределы интегрирования в привычном порядке, хотя исходный интеграл  и так рассчитывается без всяких проблем. Однако не редкость, когда перестановка пределов интегрирования не только удобна, но и рациональна.

– Какими бы ни были точки :

Здесь в первую очередь, конечно же, напрашивается ситуация, когда точка «цэ» лежит внутри отрезка . Просто и естественно – криволинейную трапецию можно разделить на две части, т.е. изначальная площадь будет равна сумме площадей.

Но данное свойство работает и в «нестандартном» случае, когда точка «цэ» лежит вне промежутка . Желающие могут проанализировать это самостоятельно.

– Пожалуйста, запомните! Если подынтегральная функция , то  (здесь и далее полагаем, что ). И, наоборот, если , то интеграл будет неположительным: .

Свойство элементарно доказывается: снова вспоминаем, что . Длины частичных промежутков положительны: , но в первом случае значения функции  (криволинейная трапеция лежит не ниже оси абсцисс), а во втором случае  (криволинейная трапеция лежит не выше оси абсцисс)

Таким образом, если при вычислении интеграла  у вас получилось отрицательное значение – ищите ошибку. Функция  на промежутке интегрирования  (и, к слову, вообще на любом ненулевом промежутке), поэтому интеграл  обязательно должен получиться положительным.

Наоборот – если интеграл  получился положительным, то здесь тоже где-то допущена ошибка, поскольку  на отрезке .

! Совет: перед решением любого определённого интеграла всегда полезно проанализировать знак подынтегральной функции!

– Ещё одно важное свойство. Если функции  интегрируемы на , и для всех «икс» из данного промежутка справедливо неравенство , то

Тоже всё наглядно – график функции  расположен не ниже графика функции , поэтому площадь  будет не меньше, а на практике почти всегда – больше площади .

Из данного свойства следует важнейшая рабочая формула вычисления площади фигуры, ограниченной графиками функций  и прямыми :

– Если  на , то 

Рассмотрим конкретную задачу, поясняющую геометрический смысл данного свойства, а то я чувствую, вы уже изнываете без практики =)

Пример 1

Оценить определенный интеграл 

Решение: подынтегральная функция  непрерывна на отрезке , а значит, достигает на нём  и  – наименьшего и наибольшего значений. Решаем стандартную двухшаговую задачу по нахождению :

1) Вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих отрезку: 

 – критическая точка.

2) Вычислим значения функции на концах отрезка:

Таким образом: 

Длина отрезка интегрирования: 

В результате, оценка определённого интеграла:

Ответ: 

Геометрически это означает, что площадь  криволинейной трапеции (синяя штриховка) не меньше площади красного прямоугольника  и не больше площади зелёного прямоугольника :

Да, оценка, конечно, очень грубая, но таково задание и оно иногда встречается в контрольных работах. Кстати, интеграл  является неберущимся, и вычислить заштрихованную площадь можно лишь с определённой точностью, например, методом трапеций, по формуле Симпсона, с помощью разложения функции в ряд, др. способами.

– И в заключение параграфа – теорема о среднем: если функция  непрерывна на , то существует точка  – такая, что . Геометрический смысл  теоремы я уже использовал при выводе формулы Ньютона-Лейбница, единственное, там речь шла о кусочке криволинейной трапеции, здесь же – о всей фигуре. Грубо говоря, всегда существует прямоугольник со стороной  (длина отрезка интегрирования), площадь которого равна площади .

Доказательство опустим, поскольку в нём фигурируют другие теоремы математического анализа.

А сейчас оставшихся со мной читателей ждёт вознаграждение, позволяющее проникнуться, если хотите, философией темы:

Общая концепция задачи интегрирования

В предыдущих пунктах мы разобрали задачу нахождения площади, но это частная и довольно малая область применения интегрального исчисления. Существует великое множество задач интегрирования, при этом наибольшим разнообразием отличается даже не математика, а физика. Вернёмся к самому смыслу термина: интегрирование – это объединение. А объединить, как вы понимаете, можно много чего =) И в общем виде задача интегрирования ставится следующим образом, не судите строго, формулирую своими словами:

Требуется найти значение величины  на отрезке . Величина  – это не обязательно площадь, объём либо какое-то другое геометрическое понятие. Это может быть что-нибудь с ярко выраженным физическим смыслом, например, работа силы. При этом известна производная величина, заданная функцией  на том же промежутке . Рассматриваемый отрезок и аргумент «тау» – тоже не обязательно геометрия, речь может идти, скажем, о временнОм промежутке и времени.

В предположении о непрерывности функции  на , задача решается в два этапа:

Сначала рассматривается бесконечно малый отрезок   промежутка , на котором произведение  равно бесконечно малому «кусочку»  от разыскиваемого значения . То есть, справедливо равенство .

Далее проводится объединение (интегрирование) всех бесконечно малых элементов  по отрезку , в результате чего и получается суммарное значение искомой величины: .

Примечание: в теории и практике вышеизложенные равенства почти всегда записывают в обратном порядке: . Стандарты нарушены только для лучшего понимания материала.

Давайте вспомним 1-й чертёж урока, где мы установили, что площадь  криволинейной трапеции равна определённому интегралу . Ведь что такое произведение ? Данное произведение выражает площадь прямоугольника с высотой  и бесконечно малой длиной . Иными словами, это элементарный «кирпичик» площади: .

Объединяя (интегрируя) эти бесконечно малые прямоугольники по отрезку , мы и получаем площадь всей криволинейной трапеции: .

Заключительные примеры позволят вам ещё лучше понять сущность интегрирования:

Пример 2

Вычислить объём эллипсоида 

Решение: перепишем уравнение эллипсоида в каноническом виде  и выполним чертёж. Ввиду симметрии тела достаточно вычислить объём в 1-м октанте:

Прежде всего, обратим внимание на заштрихованную «площадку»  – она представляет собой «четвертинку» эллипса с большой полуосью  и малой полуосью , длины которых зависят от значения «зет». Сама площадь , разумеется, тоже величина переменная: мысленно положите сверху ладошку и начните опускать лифт вниз. Длины , а вместе с ними и площадь  – начнут возрастать. Максимальные значения будет достигнуты в плоскости : . В Примере №2 урока о площади и объеме при параметрически заданной линии выведена формула площади эллипса . У нас же одна четверть эллипса, поэтому площадь «на нулевом этаже» будет составлять 

Теперь поднимаем заштрихованную «площадку» ладошкой вверх – полуоси  и площадь  будут уменьшаться – до тех пор, пока при  не выродятся в точку; площадь здесь станет нулевой: .

В чём состоит трудность нахождения объёма  данного тела? Трудность состоит в том, что стОит нам чуть-чуть «дёрнуться» и площадь эллипса изменится. Что делать? Использовать общий принцип интегрирования:

На первом шаге рассматриваем «площадку»  бесконечно малой толщины . При этом произведение площади  на высоту  будет равно элементарному, бесконечно малому элементу объема тела: .

На втором шаге «плавно поднимаемся на лифте с 0-го на 5-й этаж», объединяя ВСЕ элементарные слои  объёма:  – получая тем самым итоговый объём тела.

Суть разобрана, остальное – дело техники:

1) Найдём функцию  длины большой полуоси эллипса. Для этого в уравнении эллипсоида  обнуляем «игрековую» координату:

Поскольку дело происходит в 1-м октанте, то перед корнем будет знак «плюс»:

2) Аналогично находим функцию длины малой полуоси. В уравнении эллипсоида  обнуляем «иксовую» координату и выражаем :

3) Составим функцию площади , не забывая, что это «четвертинка» эллипса:

И, наконец, «запускаем лифт», объединяя элементарные частички объёма :

Так как рассматривалась только  часть эллипсоида, результат умножаем на 8.

Ответ: 

Если решить задачу с каноническим уравнением   (в общем виде), то получится формула объема эллипсоида: 

Следует отметить, что в общем случае эллипсоид не является телом вращения, поэтому к нему не применим «обычный» метод нахождения объема, изложенный в статье Объем тела вращения. Таким образом, разобранная задача оказывается не только поучительной, но ещё и крайне полезной. Желающие могут найти здесь ещё порядка 30 похожих примеров и потренироваться.

Для полноценной картины как нельзя кстати будет физика:

Пример 3

Найти путь, пройдённый телом в промежуток времени от  до , если известен закон изменения его скорости  (м/с)

Решение: обозначим через  расстояние, пройдённое телом за 5 – 2 = 3 секунды – начиная с момента времени  и заканчивая моментом .

Немного проанализируем задачу. Вот если бы тело двигалось с постоянной скоростью, например, 7 м/с, то никаких проблем – оно бы за 3 секунды прошло путь в  метр. Но у нас движение даже не равноускоренное (при котором ещё можно извернуться без матана) – у нас закон изменения скорости нелинейный. При этом в начальный момент времени скорость равна  м/с, а в конечный момент:  м/с. Но от этой информации легче не стало – какое расстояние  успело пройти тело за эти три секунды?! Задание осложняется ещё и тем, что скорость существенно возрастает даже за малые промежутки времени, поэтому у нас нет и близкой оценки пройдённого пути.

Как быть? На помощь приходит интегрирование. Рассмотрим бесконечно малый промежуток времени , на котором скорость тела можно считать постоянной (или, как говорят физики, мгновенной). Тогда произведение данной скорости на промежуток времени  равно элементарному бесконечно малому «кусочку» пройдённого пути:  (скорость умножить на время – это же расстояние, верно?).

Всё что осталось сделать – это объединить микроскопические «шажочки»  на временнОм промежутке :

Ответ: 45 метров