Лекционный материал

Дицсиплина: Кесиптик математика( 3-семестр)

Тема 1.: Экинчи жана үчүнчү тартиптеги аныктагычтар, алардын касиеттери

План

1. Экинчи тартиптеги аныктагыч жөнүндө түшүнүк

2. Үчтартиптеги аныктагычтар жөнүндө түшүнүк

3. Минор жана алгебралык толуктооч жөнүндө

4. Саррюстун методу аныктагычтарды эсептөөдө

5. Лапластын методу менен аныктагычты табуу

Көрсөткүчтөр:

• Экинчи, үчүнчү тартиптеги аныктагычтардын эрежелерин билсе, алар менен болгон амалдарды иштей алса;

• Минор жана алгебралык толутооч аркылуу аныктагычтарды эсептей алса;

• Саррюстун методу менен үчүнчү тартиптеги аныктагычтарды чыгара алса;

• Лапластын методун колдонуп иштей алса;

Аныктагыч түшүнүгүн биз теңдемелер системасы менен байланыштырып карайбыз. Биз буга чейин колдонулган ыкмалардан сырткары дагы, теңдемелер системасынын чечимин, аныктагычтардын жардамы менен аныктасак болот. Аныктагычтар теңдемелер системасындагы өзгөрүлмөлөрдүн коэффициенттери аркылуу түзүлөт.

Мисалы: теңдемесинен  матрицанын аныктагычын түзүүгө болот.

Эгерде өлчөмдүү болсо, матрицанын аныктагычы же det A аркылуу белгиленет.

Биринчи тартиптеги матрицанын аныктагычы саны болот. Мисалы, А=(3) үчүн болот.

Аныктама. Берилген сандарынын m-жолчодон жана n мамычадан турган төмөнкү тик бурчтуу таблица.

матрица деп аталат. Мында сандары матрицанын элементтери деп аталат.

Берилген матрицанын элементи, матрицанын - жолчосу менен -мамычанын кесилишинде жайланышкан. Эгерде матрицанын жолчолорунун саны менен мамычаларынын саны барабар болсо, б. а. болсо, анда матрица квадраттык матрица деп аталат, n анын тартиби деп аталат.

Аныктама: Эгерде жолчосунун саны менен мамычасынын саны 2 ге барабар болсо, анда ал экинчи тартиптеги аныктагыч деп аталат.

Экинчи тартиптеги матрицанын аныктагычы же 2- тартиптеги аныктагыч detA төмөнкү формула менен аныкталган сан болот:

(1.1)

Демек, экинчи тартиптеги аныктагычты эсептөө үчүн, биринчи диагоналдык көбөйтүндүдөн экинчи диагоналдык көбөйтүндүнү кемитүү зарыл. Ал эми теңдемелер системасында өзгөрүлмөнүн саны менен теңдемелердин саны үчкө барабар болсо, анда алардын коэффициенттеринен түзүлгөн аныктагыч, үчүнчү тартиптеги аныктагыч болот. Үчүнчү тартиптеги (1.2)

матрицанын аныктагычы же 3-тартиптеги аныктагыч detA төмөнкү формула менен аныкталган сан болот.

(1.3)

Бул үчүнчү тартиптеги аныктагычты үч бурчтук же Саррюстун эреже боюнча эсептөө деп айтылат. Ал төмөнкү схема боюнча жүргүзүлөт.

Мисал: Төмөнкү 3- тартиптеги аныктагычты эсептегиле.

Чыгаруу:

Аныктама: . Берилген n-тартиптеги А матрицанын элементинин минору деп А матрицанын i-жолчосун жана j-мамычасын сызгандан кийинки алынган (n-1)-тартиптеги матрицанын аныктагычы аталат.

(1.4)

Аныктама: Берилген n-тартиптеги А матрицанын элементинин алгебралык толуктоочу деп (1.5) саны аталат. Мында саны элементинин минору.

Мисалга

Мисал: Төмөнкү матрицанын бардык элементтеринин алгебралык толуктоочторун тапкыла:

Чыгаруу:

Лапластын теоремасы: Берилген n-тартиптеги матрицанын аныктагычы det (А), ал матрицанын каалаган жолчосунун (же мамычасынын) ар бир элементин анын алгебралык толуктоочуна көбөйтүп, ал көбөйтүндүлөрдү кошкондогу суммага барабар, б.а.

(1.6)

Далилдөө:

Лапластын теоремасын 3-тартиптеги аныктагычты эсептөөдө колдонуп эсептөөдөн,(1-жолчонун элементтерин ажыратып) төмөнкү формула алынат:

(1.7)

Мисал. Төмөнкү аныктагычты эсептегиле.

Чыгаруу. Биринчи мамыча боюнча ажыратуудан төмөнкү келип чыгат:

=

Лапластын теоремасынын негизги мааниси n-тартиптеги аныктагычты эсептөөнү (n-1) n -тартиптеги аныктагычтарды эсептөөгө алып келет.

Аныктагычтар төмөнкү касиеттерге ээ:

1. Эгерде квадраттык матрицанын кандайдыр бир жолчосунун (же мамычасынын ) бардык элементтери нөл болсо, анда ал матрицанын аныктагычы нөлгө барабар.

2. Эгерде матрицанын кандайдыр бир жолчосун (мамычасын) санына көбөйтүүдөн, ал матрицанын аныктагычы санына көбөйтүлөт

3. Квадраттык А матрицаны транспозициялоодон, ал матрицанын аныктагычы өзгөрбөйт б.а. det =det , мында - транспозицияланган матрица

4. Квадраттык матрицанын эки жолчосунун (же эки мамычасынын) ордун алмашты- руудан, анын аныктагычы белгисин карама – каршы белгиге өзгөртөт.

5. Эгерде квадраттык матрица бирдей эки жолчону (же эки мамычаны) камтыса, анда ал матрицанын аныктагычы нөлгө барабар.

6. Эгерде матрицанын эки жолчосу (же эки мамычасы) пропорционалдуу болсо, анда ал матрицанын аныктагычы нөлгө барабар..

7. Квадраттык матрицанын кандайдыр бир жолчосунун ( мамычасынын) ар бир элементин башка жолчонун (мамычанын) элементинин алгебралык толуктоочуна көбөйтүп, ал көбөйтүндүлөрдү кошкондогу сумма нөлгө барабар, б. а.

(1.8)

же

(1.9)

8. Эгерде квадраттык матрицанын кандайдыр бир жолчосуна (мамычасына), каалаган санга көбөйтүлгөн башка жолчонун (мамычанын) элементтерин кошуудан, ал матрицанын аныктагычы өзгөрбөйт.

9. Квадраттык матрицанын кандайдыр бир жолчосунун (мамычасынын) элементтеринин алгебралык толуктоочторун каалаган сандары менен алмаштыргандагы матрицанын аныктагычына барабар.

10. Эки квадраттык матрицанын көбөйтүндүсүнүн аныктагычы ал матрицалардын аныктагычтарынын көбөйтүндүсүнө барабар, б.а. мында жана - - тартиптеги матрицалар.

Өтүлгөн темага карата практикалык мисалдар иштөө менен сабакты бышыктоо

Төмөнкү аныктагычтарды эсептегиле:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

9) Төмөнкү аныктагычтарды эсептегиле:

1) 2) 3) 4)

10) экендигин көрсөткүлө.

11)

экендигин көрсөткүлө.

Тест:

1.Экинчи тартиптеги аныктагычтарды эсептегиле:

а) 6 б)-1 в)0 г)-6

2.Аныктагычтарды тапкыла:

а) -7 б)-1 в)0 г)24

3. Аныктагычтарды эсептегиле:

а) -33 б)-24 в)25 г)30

4. Үчүнчү тартиптеги аныктагычтар:

а) -6 б)-1 в)0 г)6

5. Үчүнчү тартиптеги аныктагычтар:

а) 40 б)-20 в)0 г)6

6.Үчүнчү тартиптеги аныктагычтар:

а)- 5 б)-9 в)10 г)8

7.Үчүнчү тартиптеги аныктагычтар:

а) 100 б)-100 в)10 г)5

8. Тендемени чыгаргыла:

а) 6-х б)2-х в)0 г)3+х

9. Тендемени чыгаргыла:

а) 36 б)60 в)20 г)4-2х

10 Бул формула кимге таандык:

а) Лаплас б) Крамер в) Саррюс г)билбеймин

11. Аныктагычты эсептөөдө ыйгалуу жолду ойлоп тапкан окумуштуу:

а) Саррюс б) Лаплас в) Крамер г)билбеймин

12. Аныктагычтарды Лапластын методу менен иштөө:

а) 12 б)0 в)10 г)24

13. Аныктагычты Саррюстун методу менен иштөө:

а) 1 б)0 в)2 г)-3

14.Экинчи тартиптеги аныктагычтарды эсептегиле:

а) -12 б)-1 в)0 г)-6

15.Аныктагычтарды тапкыла:

а) а² б)-с в)0 г)а

16. Аныктагычты Саррюстун методу менен иштөө:

а) 1 б)2 в)3 г)4

17. Аныктагычты Саррюстун методу менен иштөө:

а) 0 б)1 в)-1 г)-3

18. Аныктагычтарды Лапластын методу менен иштөө:

а) -139002 б) 139000 в)139 г)-139001

19. Аныктагычтарды Лапластын методу менен иштөө:

а) 24 б)20 в)30 г)-10

20. Аныктагычты эсептегиле:

а) -55 б)0 в)30 г)-33