Комбинаторика и теория вероятности

«Комбинаторика и теория вероятности»

Выполнила преподаватель математики ГБПОУ «Сызранский политехнический колледж» Тихонова Н.В.

Классическое определение вероятности

Стохастическим называют опыт, если заранее нельзя предугадать его результаты. Результаты (исходы) такого опыта называются событиями .

Пример : выбрасывается игральный кубик (опыт) ;

выпадает единица (событие).

Событие, которое обязательно произойдет в результате испытания, называется достоверным , а которое не может произойти, - невозможным .

Пример : В мешке лежат три груши.

Опыт – изъятие фрукта из мешка.

Достоверное событие – изъятие груши.

Невозможное событие – изъятие топинамбура.

Классическое определение вероятности

Равновозможными называют события, если в результате опыта ни одно из них не имеет большую возможность появления, чем другие.

Примеры : 1) Опыт - выбрасывается монета.

Выпадение орла и выпадение решки –

равновозможные события.

2) В урне лежат три шара. Два красных и жёлтый.

Опыт – извлечение шара.

События – извлекли жёлтый шар и извлекли красный шар - неравновозможны.

Появление красного шара имеет больше шансов..

Классическое определение вероятности

Несовместимыми (несовместными) называют события, если наступление одного из них исключает наступление других.

Пример : 1) В результате одного выбрасывания выпадает

орел (событие А) или решка (событие В).

События А и В - несовместны.

2) В результате двух выбрасываний выпадает

орел (событие А) или решка (событие В).

События А и В - совместны. Выпадение орла в первый раз

не исключает выпадение решки во второй

Классическое определение вероятности

Полной группой событий называется множество всех событий рассматриваемого опыта, одно из которых обязательно произойдет, а любые два других несовместны.

События образующие полную группу называют элементарными.

Пример : 1) Опыт – один раз выбрасывается монета.

Элементарные события : выпадение орла

и выпадение решки образуют полную группу.

Классическое определение вероятности

Вероятностью случайного события А называется отношение числа элементарных событий, которые благоприятствуют этому событию, к общему числу всех элементарных событий, входящих в данную группу .

P(A) = m/n

Для конечных множеств событий при нахождении m и n широко используют правила комбинаторики.

Задача №1 : Сколько двузначных чисел можно

составить используя цифры 7 ; 8; 9

(цифры могут повторяться) ?

В данном случае легко перебрать все комбинации.

77

78

79

88

87

89

99

97

98

9 вариантов

Задача №2 : Сколько пятизначных можно

составить используя цифры 7 ; 8; 9

(цифры могут повторяться) ?

Как видим, в этой задаче перебор довольно затруднителен.

Решим задачу иначе.

На первом месте может стоять

любая из трех цифр – 3 варианта.

На втором месте может стоять

любая из трех цифр – 3 варианта.

На третьем месте может стоять

любая из трех цифр – 3 варианта.

На четвертом месте может стоять

любая из трех цифр – 3 варианта.

На пятом месте может стоять

любая из трех цифр – 3 варианта.

Комбинаторное правило умножения

Примеры решения задач

№ 1 В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 24 из США, 13 из Мексики, остальные — из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады.

Благоприятное событие А : первой выступает

спортсменка из Канады

Количество всех событий группы : n=?

Количество благоприятных

событий : m = ?

Соответствует количеству всех гимнасток.

n= 50

Соответствует

количеству

гимнасток

из Канады.

m =50-(24+13)=13

09.06.17

№ 2 В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 14 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Благоприятное событие А : выбранный насос

не подтекает.

Количество всех событий группы : n=?

Соответствует количеству всех насосов.

n= 1400

Количество благоприятных

событий : m = ?

Соответствует

количеству

исправных

насосов

m =1400-14=1386

09.06.17

• Вероятность и правило произведения.
• Решение:
• Всего 6 монет. Возможны варианты перекладывания:
• 1 карман 2 карман
• 5 1 1 5 1 1
• 1 1 5 1 1 5
• 1 5 1 1 5 1
• Р = ( 2 /6 * 4 /5 * 3 /4 ) * 3 = 3 /5 = 0 , 6
• « 5 » « 1 » « 1 »

№ 3

В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по 5 рублей.

Петя, не глядя, переложил какие-то три монеты в другой карман.

Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат в

разных карманах.