Геометрическое место точек в пространстве.

Геометрическое место точек в пространстве. Уравнение плоскости.

Повторение:

Постройте геометрическое место точек,

равноудаленных от точек A и B.

A

B

Повторение:

Постройте геометрическое место точек,

равноудаленных от сторон угла AOB.

A

O

B

Повторение:

Геометрическим местом точек называется фигура, состоящая из всех точек, удовлетворяющих заданному свойству, или нескольким заданным свойствам

Изучение нового:

Геометрическим местом точек (ГМТ) называют множество точек пространства, обладающих определенным свойством.

ГМТ , удаленных от данной плоскости на заданное расстояние, являются две плоскости, параллельные данной.

Изучение нового:

X

C

A

O

B

Изучение нового:

Чтобы доказать, что какое-то множество точек является ГМТ, надо доказать:

1. каждая точка данного множества обладает заданным свойством;

2. если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству.

Изучение нового:

Теорема 6.1

Плоскость, перпендикулярная отрезку и проходящая через его середину, является ГМТ, равноудаленных от концов этого отрезка.

A

M

X

В

Изучение нового:

Теорема 6.1

Плоскость, перпендикулярная отрезку и проходящая через его середину, является ГМТ, равноудаленных от концов этого отрезка.

A

Y

M

В

Изучение нового:

Определение:

Биссектором двугранного угла называют полуплоскость, границей которой является ребро двугранного угла, и делящую его на два равных двугранных угла.

Изучение нового:

Теорема 6.2

Биссектор двугранного угла является ГМТ, принадлежащих двугранному углу и равноудаленных от его граней.

Изучение нового:

Уравнение фигуры.

Уравнением фигуры F, заданной в координатном пространстве xyz, называют уравнение с тремя переменными x, y, z, обладающее следующими свойствами:

• если точка принадлежит фигуре F, то ее координаты (x;y;z) являются решением данного уравнения;
• любое решение (x;y;z) данного уравнения является координатами точки, принадлежащей фигуре F.

Изучение нового:

Теорема 6.3

Уравнение плоскости имеет вид ax + by + cz + d = 0, где a, b, c и d – некоторые числа, причем

a, b, и c не равны нулю одновременно.

A(x 1 ; y 1 ; z 1 )

z

(x; y; z)

M

1

y

0

1

1

B(x 2 ; y 2 ; z 2 )

x

a

b

c

-d

Изучение нового:

ax + by + cz + d = 0

Теорема 6.4

Вектор перпендикулярен плоскости α, уравнение которой имеет вид ax + by + cz + d = 0

B

z

A

N

M

1

0

1

y

1

x

Решение задач:

В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 сторона основания равна 2 дм, а боковое ребро – 1 дм. Докажите, что прямая OB 1 перпендикулярна плоскости MD 1 N, где O – центр нижнего основания, точки M и N – середины ребер AD и CD соответственно.

z

B 1

C 1

A 1

D 1

x

B

C

N

O

D

A

y

M

Решение задач:

Решение задач:

§ 6, №№ 1, 2, 4, 6, 9, 11, 13, 15, 17.

Дома:

§ 6, знать теоремы и определения, №№ 3, 5, 8, 10, 12, 14, 16, 18.