Материал по математике "Геометрические места точек"

Геометрическим местом точек (ГМТ) с данным свойством называется множество всех точек пространства, обладающих этим свойством.

В решении задач ГМТ должны присутствовать три момента:

1) предъявлено множество Р, про которое мы утверждаем, что оно-искомое;

2) доказано, что каждая точка множества Р обладает заданным свойством;

3) доказано, что нет других точек, обладающих данным свойством.

Важнейшими ГМТ в пространстве являются следующие:

а) ГМТ, удаленных на расстояние R > 0 от данной точки О, есть (по определению) сфера радиуса R с центром в точке О.

б) ГМТ, равноудаленных от двух различных точек А и В есть плоскость Р, перпендикулярная отрезку АВ и проходящая через его середину.

в) ГМТ, равноудаленных от трех не лежащих на одной прямой точек А, В и С есть прямая, перпендикулярная плоскости АВС и проходящая через центр окружности, описанной около треугольника АВС.

г) ГМТ, равноудаленных от сторон двугранного угла, есть его биссектральная плоскость.

д) Геометрическим местом точек М (х, у, z) пространства с системой координат Охуz таких, что Ах + Ву + Сz + D = 0 (А, В, С, D – числа такие, что А² + В² + С² не равно 0) является плоскостью, перпендикулярная вектору n {A,B.C}.

е) Уравнение (х – а) ² + (у – b) ² + (z – с) ² = R², где R Ю 0, задает сферу радиуса R с центром в точке O (а, b, с).

Если мы знаем ГМТ, М₁, определяемое свойством Р₁ и ГМТ М₂, определяемое свойством Р₂, то ГМТ, для которых одновременно выполняются свойства Р₁ и Р₂, есть пересечение множеств М₁ и М₂.

Как правило, можно понять, как устроено искомое ГМТ, если разбить данное свойство на более простые, найти соответствующие более простые ГМТ и из них построить искомое. Иногда удается ввести систему координат и записать данное свойство в виде формулы f(х, у, z ) = 0. Иногда нужно угадать хорошую геометрическую закономерность, присутствующую в данном свойстве.

Задача 1. Найти геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из точки А на всевозможные прямые, проходящие через фиксированную точку В.

Решение. Искомое ГМТ есть сфера, построенная на отрезке АВ как на диаметре. В самом деле, если мы проведем произвольную плоскость через прямую АВ, то из всех точек искомого ГМТ в этой плоскости отрезок АВ будет виден под прямым углом, так что пересечение искомого ГМТ с плоскостью, проходящей через прямую АВ есть окружность, построенная на АВ как на диаметре.

Теперь уже ясно, что ГМТ обязано быть сферой радиуса AB/2 с центром в середине АВ.

Ответ: сфера, построенная на отрезке АВ как на диаметре.

Задача 2. В пространстве даны две точки А и В. Найдите геометрическое место таких точек М, что АМ² – ВМ² = b², где b > 0.

Решение. Возьмем такую же систему координат, как в предыдущей задаче. Точка М (х, у, z ) принадлежит искомому ГМТ, если и только если

МА² – МВ² = b² -- ((х + а ) ² + у² + z² ) – ((х – а ) ² + у² + z² ) = b²

Очевидно, это уравнение плоскости, пертендикулярной оси Ох, т. е. прямой АВ. Точка пересечения этой плоскости с прямой АВ зависит от числа b²/4a.

Ответ: плоскость, перпендикулярная прямой АВ, пересекающая ее правее середины отрезка АВ на расстоянии b²/2AB от нее.

Задачи для самостоятельного решения.

Дана сфера. Найдите геометрическое место центров сфер, вписанных в тетраэдры, вписанные в данную сферу.

В провтранстве дана точка А. Найдите геометрическое место проекций А на всевозможные плоскости, проходящие через прчмую f, не содержащую точку А.

В пространстве дана точка О и две прямые. Найдите геометрическое место точек М, для которых сумма длин проекций отрезка ОМ на данные прямые есть величина постоянная.

Найдите геометрическое место середин общих касательных к двум заданным сферам.

Найдите геометрическое место центров сфер, касающихся двух данных пересекающихся прямых.

Геометрические места точек.

Геометрическим местом точек (ГМТ) с данным свойством называется множество всех точек пространства, обладающих этим свойством.

В решении задач ГМТ должны присутствовать три момента:

1) предъявлено множество Р , про которое мы утверждаем, что оно-искомое;

2) доказано, что каждая точка множества Р обладает заданным свойством;

3) доказано, что нет других точек, обладающих данным свойством.

Важнейшими ГМТ в пространстве являются следующие:

а) ГМТ, удаленных на расстояние R 0 от данной точки О, есть (по определению) сфера радиуса R с центром в точке О.

б) ГМТ, равноудаленных от двух различных точек А и В есть плоскость Р, перпендикулярная отрезку АВ и проходящая через его середину.

в) ГМТ, равноудаленных от трех не лежащих на одной прямой точек А,В и С есть прямая, перпендикулярная плоскости АВС и проходящая через центр окружности, описанной около треугольника АВС.

г) ГМТ, равноудаленных от сторон двугранного угла, есть его биссектральная плоскость.

д) Геометрическим местом точек М (х,у,z) пространства с системой координат Охуz таких, что Ах + Ву + Сz + D = 0 (А, В, С, D – числа такие, что А² + В² + С² 0) является плоскостью, перпендикулярная вектору n.

е) Уравнение (х – а)² + (у – b)² + (z – с)² = R² , где R Ю 0, задает сферу радиуса R с центром в точке O (а, b, с).

Если мы знаем ГМТ, М₁, определяемое свойством Р₁ и ГМТ М₂, определяемое свойством Р₂, то ГМТ, для которых одновременно выполняются свойства Р₁ и Р₂, есть пересечение множеств М₁ и М₂.

Как правило, можно понять, как устроено искомое ГМТ, если разбить данное свойство на более простые, найти соответствующие более простые ГМТ и из них построить искомое. Иногда удается ввести систему координат и записать данное свойство в виде формулы f(х, у, z ) = 0. Иногда нужно угадать хорошую геометрическую закономерность, присутствующую в данном свойстве.

Задача 1. Найти геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из точки А на всевозможные прямые, проходящие через фиксированную точку В.

Решение. Искомое ГМТ есть сфера, построенная на отрезке АВ как на диаметре. В самом деле, если мы проведем произвольную плоскость через прямую АВ, то из всех точек искомого ГМТ в этой плоскости отрезок АВ будет виден под прямым углом, так что пересечение искомого ГМТ с плоскостью, проходящей через прямую АВ есть окружность, построенная на АВ как на диаметре. Теперь уже ясно, что ГМТ обязано быть сферой радиуса с центром в середине АВ.

Ответ: сфера, построенная на отрезке АВ как на диаметре.

Задача 2. В пространстве даны две точки А и В. Найдите геометрическое место таких точек М, что АМ² – ВМ² = b², где b 0.

Решение. Возьмем такую же систему координат, как в предыдущей задаче. Точка М (х, у, z ) принадлежит искомому ГМТ, если и только если

МА² – МВ² = b² (( х + а )² + у² + z² ) – (( х – а )² + у² + z² ) = b² .

Очевидно, это уравнение плоскости, пертендикулярной оси Ох, т.е. прямой АВ. Точка пересечения этой плоскости с прямой АВ зависит от числа .

Ответ: плоскость, перпендикулярная прямой АВ, пересекающая ее правее середины отрезка АВ на расстоянии от нее.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Дана сфера. Найдите геометрическое место центров сфер, вписанных в тетраэдры, вписанные в данную сферу.

1. В провтранстве дана точка А. Найдите геометрическое место проекций А на всевозможные плоскости, проходящие через прчмую f, не содержащую точку А.

1. В пространстве дана точка О и две прямые. Найдите геометрическое место точек М, для которых сумма длин проекций отрезка ОМ на данные прямые есть величина постоянная.

1. Найдите геометрическое место середин общих касательных к двум заданным сферам.

1. Найдите геометрическое место центров сфер, касающихся двух данных пересекающихся прямых.