МОУ «Гимназия г. Надыма»
ФОРМИРОВАНИЕ ПРИЕМОВ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ 5 – 6 КЛАССОВ ПРИ ОБУЧЕНИИ ИХ РЕШЕНИЮ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ.
Вагнер О.Ю., учитель информатики и математики
Введение
Современный этап развития общества характеризуется стремительным возрастанием объемов научной информации. В этих условиях необходим человек новой формации, способный не только приспосабливаться к социальным переменам, но и активно их осваивать, быстро и адекватно реагировать на меняющуюся ситуацию, прогнозируя развитие событий.
Знания – фундамент развития личности в целом. Однако погоня лишь за знаниями, за информацией в рамках информационно-объяснительного подхода – экстенсивный путь построения содержания и способов образования; интенсивный путь может быть осуществлен лишь при использовании принципов деятельностного подхода в образовании и идей развивающего обучения [7].
Целью общего среднего образования как базового в единой степени непрерывного образования, является воспитание у учащихся активности и учебной самостоятельности. Обучение не может считаться правильно ориентированным и не может протекать успешно, если не ставится задача вооружения школьников системой умений и навыков, в том числе выходящими за рамки усвоенных, и культурой мышления.
В данном исследовании поставлена задача формирования приемов учебной деятельности учащихся 5-6 классов при обучении их решению текстовых задач.
Психолого-педагогические основы обучение математике учащихся 5-6 классов.
Цель обучения математике в общеобразовательной средней школе состоит в том, чтобы каждый ученик овладел такой системой математических знаний и основанных на них умений и навыков, чтобы он:
научно правильно понимал своеобразие отражения математически простейших законов о количественных отношениях и пространственных формах в природе, обществе и производстве и имел ясное представление об истории, происхождении и развитии этих знаний;
ясно понимал сущность элементарных методов научных исследований и доказательств, применяемых в математике, мог строить математические модели наиболее важных практических задач и решать их;
имел достаточную математическую подготовку для изучения других учебных предметов средней школы, для практической деятельности в любой деятельности производства, сельского хозяйства или сферы обслуживания и для продолжения самообразования или образования по окончании средней школы.
Возрастные особенности – это нечто неизменное и вечное, что присуще ученикам определенного возраста сами эти особенности довольно резко меняются во времени. Рассмотрим некоторые психологические особенности современного ученика, имея в виду лишь те его особенности, которые важно учитывать в процессе обучения математике.
Школьный возраст ученика делят на три основных периода: младший (1-4 классы), средний – подростковый (5-9 классы) и старший юношеский (10-11 классы). Следует учесть, что границы между этими возрастными периодами определены, не строго и имеет весьма значительные индивидуальные различия, связанные с условиями жизни и быта ребенка, характерного семейного воспитания и др.
Следовательно, учителю нужно в своей работе учитывать не только возрастные особенности учащихся, но и их индивидуальные особенности, которые могут быть существенно различными у учащихся одного и того же класса.
В нашей работе нас интересуют возрастные психологические особенности в процессе обучения математике учащихся 5-6 классов.
Для учеников 5-6 классов характерно обращение к своему внутреннему миру – у них начинает развиваться потребность в создании своих личных качеств, интерес к кино и книге, наблюдательность, воля и целеустремленность, стремление хорошо учиться и участвовать в общественной работе. Большое место в жизни младшего подростка занимает игровая деятельность, этот возраст отличается повышенной эмоциональностью и возбудимостью, любознательностью и активностью, стремлением к действенности и самостоятельности. В мышлении младшего подростка преобладает наглядно-образный и практически действенный компоненты, оно в основном конкретно, с невысоким уровнем аналитико-синтетической деятельности, недостаточной способностью к абстрагированию и владениями методами рассуждений; запоминание часто несет механический характер, учащиеся не умеют ставить цели и установки на запоминание.
Известный психолог Н.С Лейтес характеризует подростковый возраст следующим образом: «Дети 12-13 лет в подавляющем большинстве своем относятся к учению в основном благодушно: не утруждают себя излишними раздумьями, выполняют уроки только в пределах заданного, часто находят поводы для развлечения… Ослабление связи с учителем, снижение его влияния особенно дают о себе знать в недостатках поведения учеников на уроках. Теперь учащиеся не только позволяют себе игнорировать получаемые замечания, но могут и активно им противостоять. В средних классах можно столкнуться с изобретательными шалостями и проявлениями самого легкомысленного поведения». [24]
Программа по математике для 5-6 классов ставит задачу обобщения и развития на новом материале полученных в начальной школе математических знаний, умений и навыков учащихся и проведение пропедевтического обучения с целью подготовки учащихся к изучению систематических курсов алгебры и геометрии. Большинство понятий в этом курсе вводится на примерах, задача научиться определять понятия не ставится, хотя ведется подготовка к ней на следующем этапе обучения и для некоторых понятий уже даются определения. Выводы относительно свойств изучаемых объектов (математические суждения) делаются исходя из наглядного рассмотрения и опытного обоснования фактов, использования и обобщения жизненного опыта учащихся, сохраняется общий индуктивный характер изложения материала. Неполная индукция и аналогия (например, при доказательстве свойств арифметических действий, признаков делимости, геометрических факторов) являются основными видами умозаключений, но постепенно появляются и дедуктивные умозаключения, учащимся дается возможность почувствовать логику рассуждений и отличие дедуктивных доказательств от экспериментальных.
Следует заметить, что постоянное обращение опыту, практике, эксперименту дает возможность показать корни математических понятий в практической деятельности людей и их применение, что подготавливает воспитание диалектико-материалистического мышления; в процессе обучения с развитием анализа, синтеза, обобщения, способности к конкретизации понятий обобщаются как образные, так и отвлеченные компоненты мышления, намечается постепенный переход от преобладания наглядно-образного и практически-действенного к преобладанию отвлеченного понятийного мышления.
Роль и место текстовых задач, их классификация и методы решения.
С термином «задача» люди постоянно сталкиваются в повседневной жизни, как на бытовом, так и на профессиональном уровне. Задачи естественным образом возникают в любой деятельности человека из каких-либо реальных проблемных ситуаций, и поэтому процессы решения задач являются предметом исследования многих наук – философии, психологии, логики, кибернетики, педагогики, науководения и др.
Термин «задача» используется в жизни и науке очень широко и трактуется с разных позиций. Так, Г.А. Балл, анализируя различные его трактовки, дает такую последовательность определений задачи:
задача – есть ситуация, требующая от субъекта некоторого действия;
мыслительная задача – ситуация, требующая от субъекта некоторого действия, направленного на нахождение неизвестного на основе использования его связей с известным;
проблемная задача, или проблема – ситуация, требующая от субъекта некоторого действия, направленного на нахождение неизвестного на основе использования его связей с известным в условиях, когда субъект не обладает способностью (алгоритмом) того действия. [2]
Отдельно стоят математические задачи, решение которых достигается специальными математическими средствами и методами. Среди них выделяют задачи научные (например, теорема Ферма, проблема Гольбаха и др.), решение которых способствует развитию математики и ее приложений и задачи учебные, которые служат для формирования необходимых математических знаний, умений и навыков у разных групп обучаемых и направлены на изменение качеств личности обучаемого.
Учебные математические задачи различаются по характеру их объектов. В одних задачах все объекты математические (числа, функции, геометрические фигуры), в других объектами являются реальные предметы (люди, животные, сплавы, жидкости) или их свойства и характеристики (количество, возраст, длина, масса).
Математические задачи, в которых есть хотя бы один объект, являющийся реальным предметом, принято называть текстовыми задачами.
Текстовой задачей принято называть описание некоторой ситуации на естественном и математическом языке с требованием либо дать количественную характеристику какого-то компонента этой ситуации (определить числовое значение некоторой величины по известным числовым значениям других величин и зависимостям между ними), либо установить наличие или отсутствие некоторого отношения между ее компонентами или определить вид этого отношения, либо найти последовательность требуемых действий.
Основная особенность текстовых задач состоит в том, что в них не указывается прямо, какое именно действие должно быть выполнено для получения ответа на требование задачи.
В каждой задаче можно выделить:
а) числовое значение величины, которое называют данными или известными (их должно быть не мене двух);
б) некоторую систему функциональных зависимостей в неявной форме, взаимно связывающих искомое с данными и данные между собой (словесный материал, указывающий на характер связей между данными и искомыми);
в) требования или вопрос, на который надо найти ответ.
Числовое значение величин и существующие между ними зависимости, т.е. количественные и качественные характеристики объектов задачи и отношений между ними, называют условиями задачи. В задаче обычно не одно, а несколько условий, которые называют элементарными.
Требования могут быть сформулированы как в вопросительной, так и в повествовательной форме, их также может быть несколько. Величину, значения которой требуется найти, называют искомой величиной, а числовые значения искомых величин – искомыми или неизвестными.
Систему взаимосвязанных условий и требований называют высказывательной моделью задачи. Для того чтобы уяснить структуру задачи, надо выяснить ее условия и требования, т.е. построить высказывательную модель задачи.
Пример 1.1. Выделим условия и требования в задаче «на первом складе было 135 м³ дров, на втором – 114 м³. Ежедневно с первого склада вывозят по 7,5 м³, со второго – 6,5 м³ дров. Через сколько дней на складах дров останется поровну?»
Условия задачи:
На первом складе было 135 м³ дров;
На первом складе было 114 м³ дров;
Ежедневно с первого склада вывозят по 7,5 м³;
Ежедневно со второго склада вывозят по 6,5 м³;
На складах дров останется поровну.
Требования задачи:
Через сколько дней на складах дров останется поровну?
Пример 1.2. Выделим условия и требования в задаче «Имеется три сосуда вместимостью 11, 7 л. и 5 л. Одиннадцатилитровый сосуд полон вина, а остальные пусты. Как в результате нескольких переливаний, пользуясь только имеющимися сосудами, отмерить 8л вина?»
Условия задачи:
Имеются сосуды вместимостью 11, 7 и 5 литров;
Сосуд вместимостью 11 л полон вина;
Сосуды вместимостью 7 и 5 литров пустые;
Использовать можно только имеющиеся сосуды;
В результате переливаний одиннадцатилитровый сосуд содержит 8 л вина.
Требования задачи:
Указать последовательность переливаний, в результате которых отмеряют 8 л вина.
Ответ на требование задачи получается в результате ее решения. Решение задачи в широком смысле этого слова – это значит раскрыть связи между данными, заданными условиями задачи и искомыми величинами, определить последовательность применения общих положений математики (правил, законов, формул), выполнение действий над данными задачи, используя общие положения, и получить ответ на требования задачи или доказать невозможность его выполнения. Термин «решение задачи» широко применяется в математике. Этим термином обозначают связанные между собой, но все же не одинаковые понятия:
решением задачи называют результат, то есть ответ на требование задачи;
решением задачи называют процесс нахождения этого результата, то есть вся деятельность человека, решающего задачу, с момента начала чтения задачи до окончания решения;
решением задачи называют лишь те действия, которые производят над условиями и их следствиями на основе общих положений математики для получения ответа задачи.
Роль текстовых задач в процессе обучения математике многообразна, и она сводится главным образом к следующим функциям:
служат усвоению математических понятий и отношений между ними;
обеспечивают усвоение учащимися специфических понятий, входящих в предметную область задач;
способствуют более глубокому усвоению идеи функциональной зависимости;
повышают вычислительную культуру учащихся;
учат школьников применению такого метода познания действительности, как моделирование;
способствуют более полной реализации межпредметных связей;
развивают у учащихся способность анализировать, рассуждать, обосновывать;
развивают логическое мышление школьников;
развивают познавательные способности учащихся через усвоение способов решения задач;
формируют универсальные качества личности, также как привычка к систематическому интеллектуальному труду, стремление к познанию, потребность в контроле и самоконтроле;
прививают и укрепляют интерес школьников к математике.
Обобщая сказанное, можем заключить, что решение текстовых задач формирует у учащихся предметные и общеинтеллектуальные умения и навыки, навыки учебно-познавательной деятельности и самообразования.
В зависимости от целей классификации выбирают основание для ее проведения и на его основе получают те или иные группы текстовых задач, которые объединяет либо метод решения, либо количество действий, которые необходимо выполнить для решения задачи, либо схожий сюжет и т.п. В зависимости от выбранного основания задачи можно классифицировать (то есть разделить на группы по выбранному основанию):
по числу действий, которые необходимо выполнить для решения задачи;
по соответствию числа данных и искомых;
по фабуле задачи;
по способам решения;
по объектам, рассматриваемых в задачах;
по их месту в системе обучения и др.
В.И. Крупичин впервые в методике преподавания математики предложена характеристика текстовых задач по основному отношению между данными и искомыми [19].
Так, например, в задаче: «Два велосипедиста выехали навстречу друг другу из двух поселков, расстояние между которыми 76 км. Через два часа они встретились. Какова скорость каждого велосипедиста, если известно, что скорость одного из них на 3 км/ч меньше скорости другого?» - реализовано основное отношение, выраженное равенством АхВ=С, где А – скорость равномерного движения (км/ч), В – время движения (ч), С – пройденный путь (км).
В задаче: «В первом классе 36 учеников, во втором на три ученика больше, а в третьем на 6 меньше, чем в первом. Сколько учеников во всех трех классах?», - реализовано основное отношение, выраженное равенством А+В=С.
В каждой задаче, как сложном объекте В.И. Крупич выделяет внешние и внутренние строение. Внешнее сюжетное строение он называет информационной структурой задачи. Внутреннее строение задачи – структуру – составляет основное отношение, которое остается относительно неизвестным при любых ее преобразованиях в процессе поиска ее решения.
Классификация текстовых задач в таком случае проводится по их внутреннему строению, то есть по основному отношению, реализованному в них.
Интересна в плане практического применения классификация текстовых задач, предложенная Г.В. Дорофеевым, которая основывается на смысле слов и предложений естественного языка, на котором сформулирована задача. «Целесообразно, - отмечает Г. В. Дорофеев, - выделить два типа задач – задачи, в которых речь идет о некоторой реальной, а более точно о реализованной жизненной ситуации, и задачи потенциального характера, в которых жизненную ситуацию требуется сконструировать, смоделировать, выяснить условия, при которых она реализована» [16]. Принципиальное отличие этих двух групп текстовых задач состоит в том, что в одной из них ситуация постулируется, а в другой нет.
Приведем примеры таких задач:
Пример 1.3. Два тракториста забороновали вместе 678 га пашни. Первый тракторист работал 8 дней, а второй – 11 дней. Сколько гектаров бороновал в среднем за день каждый тракторист, если первый за 3 дня бороновал на 22 га меньше, чем второй за 4 дня?
Эта задача на реализованную ситуацию. В таких задачах вопрос, как правило, констатирует уже совершившийся факт.
Пример 1.4. Две бригады рабочих должны были по плану изготовить за месяц 680 деталей. Они решили изготовить сверх лана 118 деталей, для чего первая бригада должна перевыполнить месячное задание на 20%, а вторая на 15%. Сколько деталей должна была по плану изготовить каждая бригада за месяц?
Эта задача потенциального характера. В таких задачах вопрос, как правило, обращен в будущее и как бы приглашает к действию.
Положив в основание классификации число действий, которые необходимо выполнить для решения задачи, выделяют простые и составные задачи. Задачу, для которой нужно выполнить одно арифметическое действие, называют простой. Задачу, для решения которой необходимо выполнить два и более число действий называют составной.
Пример 1.5. Саше 7 лет, он на три года старше Тани. Сколько лет Тане? Данная задача является простой.
Пример 1.6. Будем считать, что айсберг представляет собой прямоугольный параллелепипед. Известна, что его высота над водой равна 36 м, что составляет 1/6 часть всей его высоты. Ширина айсберга в 125 раз больше его высоты, но в три раза меньше его длины. Определите объем айсберга. Данная задача является составной.
Выбрав в качестве основания классификации соответствие числа данных и искомых задачи, выделяют задачи определенные, задачи с альтернативными условиями, неопределенные и переопределенные задачи. Чаще всего в задачах число условий (зависимостей между величинами) соответствует числу данных и искомых. Но воспринимаются задачи, в которых условий столько, сколько необходимо и достаточно для получения ответа.
Пример 1.7. Два переплетчика должны переплести 384 книги. Один из них переплетает по пять книг в день и уже переплел 160 книг. Сколько книг в день должен переплести другой, чтобы закончить работу день в день с первым?
В данной задаче число условий соответствует числу данных и искомых. Поэтому она имеет решение и является определенной.
Задачи с альтернативными условиями – это задачи, в ходе решения которых необходимо рассматривать несколько возможных вариантов условия, а ответ находится после того, как все эти возможности будут исследованы.
Пример 1.8. От одной пристани на реке одновременно отправляются два катера. Один движется со скоростью 17 км/ч, а второй со скоростью 19 км/ч. На каком расстоянии друг от друга они будут находиться через два часа, если скорость течения реки равна 2 км/ч?
В данной задаче не сказано, в одном направлении или в разных отправляются катера. Если считать, что они отправились в одном направлении, получим один ответ, а если в противоположном – то другой. Рассмотрим пример еще одной подобной задачи.
Пример 1.9. Дано три числа, сумма которых равна 100. Сумма двух из них равна 80, а первое число на 20 больше второго. Найти эти числа.
Решение:
Пусть x, y, z – данные числа. Без ограничения общности будем считать, что x – первое число, y – второе, z – третье. Тогда по условию имеем первые два уравнения:
x
+ y + z = 100,
x = y + 20.
В условии задачи не сказано, сумма каких двух чисел равна 80. Значит, третье уравнение имеет вид:
x + y = 80, или x + z = 80. поэтому математическая модель задачи представляет собой совокупность следующих систем уравнений:
| x + y + z = 100, x = y + 20, (1) x + y = 80. | x + y + z = 100, x = y + 20, (2) x + z = 80. | x + y + z = 100, x = y + 20, (3) y + z = 80. |
Решив первую систему, получим x1 = 50, y1 = 30, z1 = 20; решив вторую систему уравнений, получим x2 = 40, y2 = 20, z2 = 40; решив третью систему, получим x3 = 20, y3 = 0, z3 = 80. таким образом, в данной задаче возможны три варианта ответа. Ответ: 1) 50, 30, 20. 2) 40, 20, 40. 3) 20, 0, 80.
Следующий тип задач это неопределенные задачи. Неопределенные задачи – задачи, в которых условий недостаточно для получения ответа.
Пример 1.10. На складе было 392 банки вишневого, клубничного, малинового варенья. Банок с вишневым вареньем было в три раза больше, чем малинового. Сколько весит вишневое варенье, если в каждой банке его 800г?
В задаче недостаточное число данных (в ней нет данных о количестве банок с клубничным вареньем). Для того чтобы ее решить необходимо дополнить условие.
Переопределенные задачи – задачи, имеющие условия, которые не используются при их решении выбранным способом. Такие условия называют лишними. Однако следует иметь в виду, что при решении задачи другим способом, лишними могут оказаться уже другие условия. Если в переопределенной задаче лишние условия не противоречат остальным условиям, то она имеет решение.
Пример 1.11. В одной печи можно обжечь 39000 кирпичей за шесть дней, а в другой столько же кирпичей можно обжечь за пять дней. За сколько дней можно обжечь 143000 кирпичей, используя обе печи одновременно, если в первой печи за один день обжигают на 1300 кирпичей меньше, чем во второй?
Задача имеет одно решение: используя обе печи одновременно, можно обжечь 143000 кирпичей за 10 дней. Здесь условия «в одной печи можно обжечь 39000 кирпичей за 6 дней, а в другой столько же кирпичей за 5 дней» и «в первой печи за один день обжигают на 1300 кирпичей меньше, чем во второй» не противоречат друг другу. Но иногда лишние условия задачи противоречивы.
Пример 1.12. Из пункта А в пункт В вышел поезд со скоростью 60 км/ч. Спустя 3 часа из пункта В ему навстречу вышел другой поезд, скорость которого на 10 км/ч больше чем у первого. Расстояние между пунктами равно 570 км. Сколько часов до встречи был в пути второй поезд, если его скорость в 1,5 раза больше скорости первого поезда?
В задаче одно условие лишнее. Причем условия «скорость второго поезда на 10 км/ч больше, чем у первого» и «скорость второго поезда в 1,5 раза больше скорости первого поезда» противоречат друг другу. Эта задача может иметь решение, если исключить одно из условий. Если исключить кратное отношение, то получим ответ: второй поезд был в пути 3 часа. Если исключить разностное отношение, то получим другой ответ: второй поезд был в пути 2,6 часа.
Иногда лишние условия не используются и не влияют на ответ.
Пример 1.13. На речном вокзале за три дня было продано 42 билета второго и третьего класса. Сколько денег получил кассир за все проданные билеты, если билет второго класса стоит 120 рублей, а третьего – на 30 рублей дешевле?
В задаче имеется лишние условие (три дня), которое не используется при решении задачи и не влияет на ответ.
Положив в основании классификации фабулу задачи, чаще всего выделяют такие группы задач: «на движение», «на работу», «на смеси и сплавы», «на смешение и концентрацию», «на проценты», «на части», «на время», «на покупку и продажу» т.п.
Классифицировать задачи, исходя из фабулы условия, очень сложно, так как тематика условий задачи весьма разнообразна.
Множество задач, в которых имеется одинаковая зависимость между величинами, входящими в эти задачи, при возможном различии их числовых данных и фабул образуют определенный вид задач. Задачи одного вида имеют одну и ту же алгебраическую модель. Положив в основание классификации способы решения задач, можно выделить такие группы задач:
задачи на тройное правило;
задачи на нахождение неизвестных по результатам действий;
задачи на пропорциональное деление;
задачи на исключение одного из неизвестных;
задачи на среднее арифметическое;
задачи на проценты и части;
задачи, решаемые с конца или «обратным ходом» и т.д.
По отношении к теории выделяют стандартные и нестандартные задачи.
Стандартная задача: «Мотоцикл за один час и сорок минут проехал на 36 км больше, чем велосипедист за один час и двадцать минут. Найдите скорость каждого, если скорость велосипедиста на 26 км/ч меньше скорости мотоциклиста».
Нестандартная задача: «У Змея Горыныча 1983 головы. Иванушка может отрубить ему одним ударом меча 33, 21, 17 или одну голову. При этом у Змея вырастают соответственно 85, 0, 14, 578 голов. (если трублен все головы, то новые не вырастают) Сможет ли Иванушка победить Змея?»
Приведенные выше классификации математических задач позволяют (учителю) шире представить себе проблемы, связанные с методикой обучения учащихся решению задач.
Существуют различные методы решения текстовых задач: арифметический, алгебраический, геометрический, логический, практический и др.
Решить задачу арифметическим методом – значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами. Мы рассмотрим арифметический способ решения текстовых задач на трех уровнях:
На первом уровне способ решения текстовой задачи мы рассматриваем как один из видов ее знаковых математических моделей. Чаще всего эта модель может быть представлена в виде одного или нескольких числовых математических выражений или им соответствующей последовательности отдельных арифметических действий. Этот вид математической модели называют арифметической моделью реальной ситуации.
В начальной школе целесообразно решать арифметическим способом все простые задачи, решаемые одним из четырех арифметических действий (х = а ± в, х = а*в, х = а : в); задание на нахождение дроби (части) числа и числа по неизвестному значению его дроби (части). Эти типы задач являются базовыми для решения составных текстовых задач.
Заметим, что вряд ли целесообразно к указанным типам задач относить простые обратные или сформулированные в косвенной форме задачи следующих типов (х ± а = в, а ± х = в, ха = в, х : а = в, а : х = в).
Из составных задач (в два или более действий) арифметическим способом целесообразно решать задачи следующих типов: х=а+в+с, х=а-в-с, х=авс, х=а±вс, х=(а+в)с, х=(ав±ср)к, х=(а±в)с±р, х=ав+ср+е, х=ав-(ср+ек), х=а-(в+с+к)р, х=с:(а:в), х=(а:в)(с:к), х=(св):(ск), х=а:(а:в+с), х=а:в*с, х=(авс)р, х=(авс):(скр) и т.п. В таких задачах нет необходимости вводить переменную для нахождения искомого.
Пример 1.14. Определите расстояние от Москвы до Санкт-Петербурга, если поезд идущий из Москвы со скоростью 69 км/ч, встретился через 3 часа с экспрессом, вышедшем из Санкт-Петербурга одновременно с ним и идущий со скоростью 148 км/ч.
Решение этой задачи арифметическим способом основывается на понятии «скорость сближения»: если за 1 час поезда приблизятся друг к другу на (69+148) км, то за три часа будет пройдено расстояние (69+148)3 км.
На втором уровне можно говорить о двух, трех и более арифметических способах решения текстовых задач. Причем задача считается решенной различными способами, если ее решения отличаются отношениями (связями) между данными, данными и неизвестными, данными и искомыми, положенные в основу решения, или условиями использования этих отношений.
Пример 1.15. В зале 8 рядов стульев по 11 стульев в каждом ряду. В зал пришли ученики их трех классов по 22 ученика в каждом. Хватит ли стульев на всех учеников?
Эта задача имеет несколько арифметических способов решения, но мы рассмотрим лишь два, которые проиллюстрируем следующими числовыми выражениями:
1 способ: 11х822х3;
2 способ: 22х3:11
Ответ: стульев хватит.
На третьем уровне различие состоит в том, что может меняться лишь внешняя сторона, то есть форма выполнения решения, которая может различаться по способам фиксации этого решения: числовым выражением, по действиям, с записью вопросов или пояснений. Проиллюстрируем сказанное на 1 способе решения предыдущей задачи:
а) в виде записи числового неравенства: 11х822х3;
б) по действиям с записью вопросов:
1. Сколько всего мест в зале? (11х8=88 (мест),
2. Сколько пришло учеников? (22х3=66 (человек),
3. Хватит ли стульев для всех учащихся? (Да, так как 8866).
Коснемся вопроса об алгебраическом способе решения текстовых задач. Решить задачу алгебраическим методом – это значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или систему уравнений (или неравенств). Знакомство учащихся с алгебраическим способом решения текстовых задач происходит уже в начальной школе, но неверно поступают те учителя, которые в 5-6 классах полностью переводят учащихся на этот способ. В этих классах абсолютное большинство задач можно решить арифметическим способом – в вопросно-ответной форме. Преимущество алгебраического способа состоит , главным образом, в «экономии мышления». Оформление решения задачи этим способом более кратко, а рассуждение проще, нужно лишь установить зависимость между неизвестной величиной и известными величинами, составить уравнение и решить его по известному алгоритму. При арифметическом способе кроме этого нужно еще знать, как из установленной зависимости найти неизвестную величину, а это не всегда просто сделать: арифметический способ требует к тому же больше временных затрат.
Но у алгебраического способа есть и серьезные недостатки, которые выражаются в том, что при таком решении «не происходит интенсивной обработки таких важных навыков, как расчленение проблемы на подзадачи, их частное решение внутри общей структуры, проведение поэтапных логических строгих рассуждений» [34,с.24].
Отношение к алгебраическому способу решения текстовых задач в 5-6 классах, конечно же, должно быть другое, нежели в 1-4 классах. В первую очередь это объясняется необходимостью пропедевтической работы в подготовке учащихся к систематическому изучению курса алгебры в 7 классе.
В методической литературе [35] выделяется несколько этапов в обучении учащихся решать сюжетные задачи:
1. Знакомство с простой сюжетной задачей. Формирование у учащихся умения решать простые сюжетные задачи арифметическим способом.
2. Знакомство с составной сюжетной задачей и формирование у школьников умения решать такие задачи арифметическим способом.
3. Формирование у учащихся умения решать простые сюжетные задачи алгебраическим способом.
4. Формирование у школьников умения решать составные сюжетные задачи алгебраическим способом.
Решение текстовых задач алгебраическим методом предполагает сформировать у учащихся умение переключаться с изучения отдельных понятий, предметов, явлений, процессов на изучение отношений между ними. И раз основой решения текстовых задач алгебраическим методом является сравнение значений величин, входящих в задачу, то пропедевтика обучения этому методу должна состоять в формировании у учащихся умений выражать зависимость между величинами в разных формах.
Сравнение численных значений величин, входящих в задачу, может проводиться разностным и кратным сравнением, суммированием. Способам сравнения величин учащихся надо специально тренировать, и сделать это можно при помощи следующих задач:
Пример 1.16.Длина одного отрезка больше длины другого на 3 см. Выразите двумя различными буквенными выражениями эту зависимость. Ответ: Длина первого отрезка х см, длина второго (х+3) см. Длина второго отрезка у см, длина первого отрезка (у-3) см.
Пример 1.17. В одной библиотеке книг в 1,5 раза больше, чем в другой. Выразите эту зависимость двумя различными буквенными выражениями. Ответ: х – книг в первой библиотеке, во второй 1,5х книг. Во второй библиотеке у книг, в первой – (у : 1,5) книг.
Пример 1.18. В среду библиотеке побывало 60 человек, в четверг на 25 человек меньше, а в пятницу в 2 раза больше, чем в четверг. Объясните, что обозначают выражения: 60-25; 60+(60-25); (60-25)х2; 60+(60-25)+(60-25)х2.
Пример 1.19. Выразите различными способами словесные зависимости:
а) 10 больше 2 на 8;
б) а больше в на 3;
в) 7 меньше 15 на 8;
г) с меньше d на 2;
д) 24 больше 4 в 6 раз;
е) х больше у в 2 раза;
ж) 48 меньше 96 в 2 раза;
з) m меньше n в 4 раза.
Важное место в процессе решения текстовых задач алгебраическим методом занимает выбор неизвестного и обозначение его через переменную, выражение других величин в задаче через эту переменную и составление уравнения.
Вести пропедевтическую работу по формированию у учащихся указанных умений целесообразно посредством заданий на составление задач, на конструирование вопросов к уже данным задачей ситуациям. Содержание этих ситуаций, вызывает значительный интерес у учащихся. Важное место в пропедевтике по обучению учащихся решению текстовых задач занимает работа по формированию у них умения записывать условия задачи с помощью графика, таблицы, в форме краткой символической записи. Такое оформление условия задачи обнажает ситуацию, описанную в задаче, более выпукло показывает объекты и процессы, о которых идет речь и, самое главное, помогает учащимся найти путь решения.
Пример 1.20. Велосипедист и всадник выехали из деревни в пионерский лагерь разными дорогами. Всадник ехал по дороге, которая была короче на 9 км, со скоростью на 3 км/ч меньшей чем велосипедист. Велосипедист ехал 3 часа со скоростью 18 км/ч. Кто из них раньше приедет в лагерь?
1 способ
С
корость велосипедиста – 18 км/ч
С
корость всадника - ?, на 3 км/ч меньше, чем
Путь велосипедиста - ?
Путь всадника - ?, на 9 км/ч короче, чем
2 способ
Таблица 1
| Величины | Велосипедист | Всадник |
| Скорость, км/ч Время, ч Расстояние, км | 18 3 ? | ? ? ? |
3 способ
Велосипедист
18 км/ч
3 часа
Д
Л
Всадник
на 3 км/ч меньше
на 9 км короче
Рис. 1.1.
Учитель должен определить в каждом конкретном случае, какой способ записи условия задачи предпочтительнее.
Решить задачу логическим методом – это значит найти ответ на требование задачи, как правило, не выполняя вычислений, а только используя логическое рассуждение. Примерами таких задач могут стать задачи «на переправы», классическим представителем которых является задача о волке, козе и капусте, или задачи «на взвешивание».
Пример 1.21. Из девяти монет одна фальшивая (более легкая). Как двумя взвешиваниями на чашечных весах определить фальшивую монету?
Х
Начало
Положить на две чаши весов по 3 монеты
Весы в равновесии
Положить на две чаши весов по одной из оставшихся трех монет
Из более легкой стопки выложить на весы по одной монете на каждую чашу
Весы в равновесии
од рассуждения оформлен в виде блок-схемы (рис. 1.3.)
Рис. 1.3.
Решить задачу практическим методом – значит, выполнив практические действия с предметами или их копиями (моделями, макетами)
Приемы учебной деятельности в обучении математике.
Понятие деятельности – одно из основных в современной психологии. Деятельностью называют процесс активности человека, характеризуемый предметом (на что направлен данный процесс), потребностью и мотивом, целями и условиями их достижения, действиями и операциями. Цель деятельности – ее направленность на определенный результат.
Под учебной деятельностью психологи понимают деятельность учащегося, направленную на приобретение теоретических знаний о предмете изучения и общих приемов решения, связанных с ним задач и, следовательно, на развитии школьников и формирование их личности.
Правильная организация учебной деятельности основывается на потребности самих учащихся осуществлять творческое преобразование учебного материала с целью овладения новыми знаниями. Стимулирование этой потребности во многом зависит от постановки учебной задачи.
Учебная задача – это обобщенная цель деятельности, поставленная перед учащимися в виде обобщенного учебного задания, которое в свою очередь, создает учебную проблему (проблемную ситуацию). Разрешая ее, учащиеся овладевают соответствующими знаниями и умениями, развивают свои личностные качества, направленные на «умение учиться», то есть достигают поставленной цели.
Понятие прием вошло в психологическую науку в связи с разработкой проблем памяти, формирования у школьников приемов рационального запоминания и с исследованием проблемы приемов мыслительной деятельности. На современном этапе развития педагогической науки и школы особое значение приобрела проблема формирования у учащихся приемов учебной деятельности.
Прием деятельности определяется как система действий, выполняемых в определенном порядке и служащих для решения учебных задач. Отметим существенные признаки приема деятельности:
Прием – наиболее рациональный способ работы, который состоит из отдельных действий (практических или умственных);
состав приема может быть выражен в виде правила, инструкции, предписания и т.д.;
правильный прием допускает обобщение, специализацию и конкретизацию;
прием обладает свойством переносимости на другую задачу;
прием можно перестроить и создать на его основе новый прием.
Приемы учебной деятельности должны быть предметом специального изучения и усвоения, включаться в содержание обучения, планироваться программой, тематическим планом и планом урока.
Чтобы включить в содержание обучения математике формирование приемов учебной деятельности по усвоению изучаемого материала, необходимо определить структуру и содержание этой учебной деятельности: выделить учебные задачи, связанные с достижением поставленной цели, и приемы их решения. Это можно сделать с помощью следующей схемы анализа изучаемого материала:
Технология учебных задач
Конкретный тип задачи
Знания и умения необходимые для решения задачи данного типа
Соответствующий прием деятельности
После такого анализа можно определить последовательность педагогических действий учителя, которая составит методику его работы по формированию приемов учебной деятельности учащихся по усвоению данного материала.
Классификация приемов учебной деятельности может быть проведена по различным основаниям. Мы рассмотрим классификацию по двум основаниям:
Характер (тип) учебной деятельности учащихся;
Этапы процесса усвоения знаний и способов деятельности.
По первому основанию в школьном курсе математики можно выделить следующие четыре группы приемов учебной деятельности:
Общеучебные приемы, не зависящие от специфики предмета математики и используемые в разных учебных предметах. Эту группу можно разделить на две подгруппы:
приемы общей (внешней) организации учебной деятельности – организации внимания, планирования, самоконтроль, работа с учебником и справочной литературой, организация домашней работы т.д.
приемы мыслительной (внутренней) деятельности – овладение и оперирование представлениями, понятиями, суждениями, умозаключениями, мыслительными операциями.
Общие приемы учебной деятельности по математике (общематематические приемы) используются во всех математических дисциплинах. Это:
приемы работы с учебником математики и математическими таблицами, приемы организации домашней работы по математике, ведение тетрадей по математике и т.д.
приемы мыслительной деятельности в сфере математических объектов: приемы работы с математическими понятиями, суждениями (аксиомы, теоремы), умозаключениями (индуктивными и дедуктивными доказательствами теорем), приемы характерных для математики мыслительных операций (анализ, абстрагирование, конкретизация и т.д.)
Специальные приемы учебной деятельности по отдельным математическим дисциплинам (арифметике, алгебре, геометрии, началам анализа) – это такие общематематические приемы, которые принимают свою особую форму в соответствии со спецификой содержания курса и особенностями его задач. Они используются в любых разделах этого курса. В каждом из специальных приемов можно выделить подгруппы частных приемов, соответствующих конкретным задачам. Без усвоения специальных приемов учебной деятельности содержание предмета усваивается формально.
Частные приемы учебной деятельности – это такие специальные приемы, которые конкретизированы для решения более узких задач и используются в определенных темах курса.
По второму основанию в школьном курсе математики можно выделить следующие три группы приемов учебной деятельности учащихся:
Приемы восприятия новых знаний и способов деятельности.
Приемы переработки и осмысления новых знаний и способов деятельности.
Приемы закрепления и применения знаний и способов деятельности.
Приемы, входящие в состав первой классификации, используются на различных этапах усвоения знаний и формирования приемов учебной деятельности. Претерпевая перестройку, они образуют приемы, входящие в состав второй классификации. Например, на этапе восприятия нового понятия учащимся нужен общий прием определения понятия через указание рода и видовых отношений. В дальнейшем этот прием видоизменяется и на его основе строятся приемы подведения под понятие и запоминания определения понятия.
Выбор методов обучения должен быть тесно связан с этапами формирования приемов учебной деятельности. На основе анализа психолого-дидактических исследований можно выделить следующие этапы этого процесса:
диагностика сформированности приемов учебной деятельности;
постановка целей учебной деятельности и принятие их учащимися;
инструктаж о способах учебной деятельности – введение приема;
отработка приема;
оперативный контроль и коррекция процесса формирования приема;
применение приема;
обобщение и перенос усвоенного приема;
закрепление обобщенного приема;
обучение нахождению новых приемов.
Методы диагностики, применяемые в обучении математике, основаны на общих методах, разработанных дидактами (например, анализ устных ответов и письменных работ учащихся, наблюдение за их повседневной деятельностью и др.), а также на особенностях учебной деятельности учащихся по усвоению математики (например, учет количества решаемых учащимися за одно и тоже время задач).
Диагностику можно провести при помощи: анкетирования, пооперационному анализу устных и письменных работ учащихся по математике с помощью дополнительных вопросов, дополнительных заданий, дидактических игр.
По результатам диагностики учащиеся класса делятся на следующие группы:
с положительным отношением к учебе и владеющие приемами учебной деятельности;
с положительным отношением к учебе и не владеющие приемами учебной деятельности;
с отрицательным отношением к учебе, но владеющие приемами учебной деятельности;
с отрицательным отношением к учебе и не владеющие приемами учебной деятельности.
Это условное деление на группы дает учителю возможность организовать работу по формированию приемов учебной деятельности учащихся дифференцированно и с учетом их индивидуальных возможностей.
На втором этапе используются методы мотивации учебной деятельности, привитие интереса к овладению приемами этой деятельности. Назовем некоторые из них, это:
- словесные методы;
- наглядные методы;
- словесно-поисковые методы.
Говоря о третьем этапе, следует отметить, что с позиции деятельностного подхода к обучению математики целесообразно не давать прием учебной деятельности в готовом виде, а организовывать самостоятельное накопление его учащимися. Тогда инструктаж распадается на три этапа, которые можно реализовать как на одном, так и на нескольких уроках.
Решение учебной задачи «по соображению» - на основании изученной теории, по аналогии с известными ранее приемами, на основании обобщения и переноса приема, интуитивно.
Осознание учащимися составляющих действий по решению учебной задачи, как правило, с помощью ответа на вопрос учителя; формулировка и оформление состава приема в виде перечня действий – в тетрадях, на карточках, на стенде, в учебнике.
показ образцов применения приема – решение учебных задач.
Практические упражнения по отработке введенного приема учебной деятельности можно условно разделить на три группы:
Упражнения, направленные на усвоение отдельных составляющих действий (более сложных) основного приема (так называемые подготовительные задачи для решения основных задач).
Упражнения, составленные методом варьирования (существенных или несущественных признаков понятий и их состав), усложнением их содержания при сохранении приема решения. Этот прием означает, что формирование понятий должно протекать на разнообразном материале, подобранном так, что постоянными остаются лишь существенные признаки данного понятия. На этом этапе появляется возможность показать учащимся, что понятие может быть определено с помощью различных характеристических признаков.
Обычные задачи по изучаемой теме, решаемые «вразброс», сопровождаемые проговариванием и объяснением вслух выполняемых действий в составе приема. Важность последнего подчеркивал Л.С. Выготский, когда говорил, что язык – это орудие мышления и речевые структуры, усвоенные ребенком, становятся основными структурами его мышления.
Контроль осуществляется с помощью методов и приемов диагностики, методов взаимоконтроля и самоконтроля (с использованием критериев уровней сформированности учебной деятельности у учащихся). Хорошим упражнением на этом этапе является упражнение вида «найти ошибку». По результатам контроля проводятся корректирующие действия по отработке приема. С этой целью используются беседы, коллективный и индивидуальный анализ ошибок и работа по их исправлению, приведение примеров и контрпримеров, индивидуальные карточки-памятки, индивидуальные и дифференцированные задания.
На шестом этапе выделяются два основных вида деятельности учителя.
Теоретические обобщения, помогающие учащимся осознать ситуацию применения усвоенных приемов. С этой целью учитель использует:
а) подведение итогов (урока, темы, решения проблемной ситуации), показывающее, как с помощью сформулированных приемов учебной деятельности решаются поставленные в начале работы задачи;
б) установление логических связей в изучаемом материале (между понятиями, свойствами, темами, предметами, приемами учебной деятельности) с применением для этой цели обобщающих таблиц и схем, конспектов, устных бесед и лекций.
Организация ситуаций для практического применения усвоенных приемов с этой целью учитель использует:
а) самостоятельную работу учащихся по учебнику;
б) самостоятельное решение задач учащимися;
в) практические и лабораторные работы;
г) уроки обобщения и повторения.
Особенностью учебной деятельности учащихся в этих ситуациях является то, что для решения каждой из учебных задач они вспоминают усвоенный прием и выполняют систему составляющих его действий. Если прием еще не усвоен, можно воспользоваться памяткой, помощью товарища или учителя.
На основе обобщенных приемов учебной деятельности осуществляется обучение учащихся их переносу. Оно начинается еще на этапе применения приемов учебной деятельности не только в стандартных, но и в новых, нестандартных ситуациях. На этом этапе, как и на предыдущем, используются объяснительно-иллюстративным, проблемные частично-поисковые методы, методы практической и самостоятельной работы, репродуктивного и вариативного воспроизведения и применения усвоенных приемов.
Восьмой этап – закрепление обобщаемых приемов учебной деятельности. Организуя деятельность учащихся по самостоятельному применению приемов в повседневной учебной деятельности, учитель акцентирует внимание учащихся на ситуациях, в которых это можно делать. С этой целью используются:
обобщающие уроки;
самостоятельная учебная деятельность учащихся по изучению материала: изучение незнакомого текста учебника, самостоятельная формулировка определений, понятий и теории, самостоятельное доказательство и поиски различных способов доказательства теории, подготовка докладов, рефератов и сочинений по математике;
самостоятельная учебная деятельность по решению математических задач: самостоятельные и контрольные работы, поиски различных способов ( наиболее рациональные) решения задач, решение нестандартных задач, защита оригинальных решений, составление задач учащимися;
практические и лабораторные работы исследовательского характера;
домашняя работа учащихся по усвоению теории и приёмов решения учебных задач;
самостоятельное применение усвоенных приёмов учебной деятельности в других предметах естественно-математического цикла.
Эти и другие ситуации создают не только условия для закрепления обобщённых приёмов учебной деятельности и способов их переноса, но и предпосылки для нахождения на их основе новых приёмов. Чем больше учащиеся самостоятельно применяют усвоенные приёмы, тем больше закрепляются в их сознании не только основные существенные действия, входящие в состав приёма , но и вариации этих действий. Результатом этого этапа должно стать воспитание у учащихся привычки действовать самостоятельно и рационально в разнообразных учебных ситуациях.
Элементы обучения нахождению новых приёмов содержатся на предыдущих этапах и позволяют наметить некоторые пути самостоятельного нахождения учащимися приемов учебной деятельности.
Обобщение частных случаев решения учебных задач. При этом следует обращать внимание учащихся на вариативность действий в составе приема: в зависимости от требований задачи можно так изменить известный прием варьированием составляющих действий, что получится новый прием для решения данной конкретной задачи.
Перестройка и перенос известного приема – второй путь нахождения новых приемов.
Конкретизация и специализация общих приемов.
Данный этап в достаточной степени и на необходимом уровне может быть осуществлен в старших классах, где учебная деятельность предъявляет школьникам более высокие требования к их активности и самостоятельности.
Степень овладения учащимися приемом учебной деятельности характеризуется терминами «ученик» и «навык», что отражает разный уровень сформированности приема. Первый уровень – это умение, то есть способность ученика выполнять действия в составе приема, зная способ их выполнения, под активным контролем внимания. Второй уровень – это навык, то есть способность ученика выполнять действие быстро, автоматизировано.
Уровни сформированности учебной деятельности у учащихся можно проанализировать с помощью таблицы 2, в которой выявлены и обоснованы три уровня: низкий, средний и высокий.
Таблица 2
| Низкий | Средний | Высокий |
| Незнание или слабое осознание приема, неумение формулировать его | Осознание приема, умение вспомнить и сформулировать его с помощью извне | Осознание приема сохранение его в памяти, умение самостоятельно его сформулировать |
| Выбор нужного приема и применение его по образцу только с помощью учителя | Выбор нужного приема с небольшой помощью и самостоятельное применение по образцу. Осознание легко различаемых связей между приемами | Самостоятельный выбор нужного приема, усвоение способа деятельности по образцу с вариациями |
| Непонимание связей между приемами | Осознание легко различаемых связей между приемами | Глубокое осознание связей между приемами |
| Узнавание ситуаций, применение приемов с большой помощью и в зависимости от ситуации | Самостоятельное узнавание наиболее типичных ситуаций, применение приемов | Самостоятельное и творческое применение приемов в различных ситуациях |
| Неумение самостоятельно обобщать способы деятельности при решении учебных задач | Умение обобщать и сформулировать прием решения несложной учебной задачи с помощью учителя | Обобщение и самостоятельное нахождение приемов решения учебных задач |
| Неумение осуществлять перестройку и перенос приема | Осуществление перестройки и переноса приема с помощью учителя в несложных ситуациях | Самостоятельное осуществление перестройки и переноса приема в различных ситуациях |
| Отсутствие умения и навыка самостоятельного применения прима | Самостоятельное применение приема на уровне умения | Самостоятельное применение приема на уровне навыка |
| Низкий темп учебной деятельности, ее исполнительский характер, отсутствие интереса к ней | Средний темп учебной деятельности, неустойчивый интерес к ней | Высокий темп учебной деятельности, устойчивый интерес, потребность в творческих действиях |
В этом делении учащихся по уровням учебной деятельности можно выделить еще нулевой уровень, когда учащиеся не умеют учиться и не усваивают материал никаким другим способом. Учащиеся первого уровня тоже не умеют учиться, но по ходу изучения материала и решения задач стихийно запоминают отдельные приемы учебной деятельности, которые остаются для них недостаточно осознанными и необобщенными, а поэтому ограниченными в применении. Усвоение и запоминание материала у них у них формальное, часто достигается зубрежкой. Учащиеся второго уровня обращают внимание на способы решения учебных задач в конкретных ситуациях, стараются их понять, запомнить и использовать в готовом виде, но не обобщают приема решения. Учащиеся третьего уровня стараются научиться учиться осознанно и рационально, достигают умения переносить усвоенные обобщенные приемы в новой ситуации. Учащиеся выше третьего уровня не только самостоятельно применяют усвоенные приемы деятельности, но и умеют самостоятельно обобщить их, составить новые примы решения незнакомых и нестандартных задач.
Глава 2. Методика формирования приемов учебной деятельности учащихся в обучении решению текстовых задач.
2.1. Текстовые задачи, как элемент содержания обучения в учебнике по математике для 5 – 6 класса.
В соответствии с основными требованиями к методике формирования приемов учебной деятельности в процессе обучения математике, по О.Б. Епишевой и В.И. Крупичу, этот процесс должен протекать по определенной схеме, существенным компонентом которой должна быть деятельность, направленная на усвоение состава приема. Поэтому приемы учебной деятельности и их состав должны быть выделены и зафиксированы в форме наиболее удобной для усвоения учащимися на каждой ступени обучения. Выбор методов обучения должен быть также тесно связан с этапами формирования приемов учебной деятельности, включающими диагностику сформированности приемов учебной деятельности, постановку целей учебной деятельности, введение приема, его отработку, оперативный контроль и коррекцию, применение, обобщение и перенос усвоенного приема, закрепление обобщенного приема.
На наш взгляд наиболее последовательно и целенаправленно решается задача формирования приемов учебной деятельности в учебниках математики Н.Я. Виленкина, В.И. Жохова, А.С. Чеснокова, С.И. Шварцбурда. В возрасте 10-12 лет начинается изучение систематического курса школьной математики, поэтому особенно важно чтобы учебник помогал воспитанию необходимых навыков математического мышления и заинтересованного отношения к математике. Основу любого учебника составляют объяснительные тексты. От них в определяющей степени зависит то, в какой мере учебник может обеспечить выполнение принципиального требования – учить мыслить. В данных учебниках для 5-6 класса сначала излагается достаточно автономный и хорошо организованный объяснительный текст, а потом приводятся упражнения. Объяснительный текст создает реальную возможность для организации учителем самостоятельной работ учащихся, что является задачей принципиальной важности. Наконец, что тоже немаловажно, этот учебник создает хорошие предпосылки для участия родителей в процессе обучения, оказывая им методическую поддержку.
Метод изложения материала индуктивный: после выяснения существа дела на конкретном примере формулируется общее положение (определение, правило и т.д.). Далее приводятся примеры, демонстрирующие применения на практике сформулированного положения. Вслед за объяснительным текстом идут упражнения на новый материал данного пункта, а за ними- упражнения для повторения. В тематике задач, включённых в учебник преобладают такие задачи, которые относятся к реальным жизненным ситуациям, причём охватывают ситуации из детской жизни и из жизни семьи, доступных учащимися этого возраста понятий из практике, развивают у учащихся умение «видеть математику» в окружающей действительности. Важнейшая особенность построения учебника состоит в том, что он создаёт благоприятные условия для организации систематического повторения. Этим, в частности объясняется тот факт, что при изучении нового материала дается не полная система упражнений, необходимая для его усвоения, а лишь определенный минимум пополняемый в ходе дальнейшего обучения. Повторение нового материала прежде всего происходит на следующем уроке. В конце каждой главы даны «Задачи на повторение». Кроме этого в конце учебника имеются ответы к задачам учебника, которые помогают учащимся анализировать и проверять правильность решения.
В заключение хочется повторить известную мысль о том, что учение – труд, который нужно сделать радостным трудом. В том, чтобы учение стало таковым, главное, конечно, зависит от учителя. Но достижение этой цели вряд ли возможно без учебника, работа с которым вызвала у ученика удовольствие.
2.2. Методика организации уроков по формированию общих и специальных приемов учебной деятельности в процессе решения текстовых задач
При переходе из начальных в средние классы, где резко возрастают сложность и объем знаний, подлежащих усвоению, изменяются требования к овладению ими, происходит сложная перестройка умственной активности школьников. И если в начальных классах до недавнего времени деятельность учащихся находилась под непосредственным управлением учителя, который задавал образцы и систематически контролировал их усвоение, корректировал ход усвоения и оценивал его, то деятельность учащихся 5-6 классов принимает другой характер, связанный с переходом на самостоятельные формы работы, с поиском рациональных способов усвоения программного материала. В этот период особенно резко обозначается расхождение между потребностью в усвоении знаний и возможностью усвоения («хочу, но не умею учиться»). Если даже к 5-ому классу учащиеся были обучены приемам учебной работы, непосредственно входящих в содержание усвоенных знаний, умений и навыков (например, правилам, алгоритмам выполнения математических операций, преобразований), то гораздо реже можно было встретить ученика 5-го класса, умеющего планировать и корректировать свою деятельность, работая с учебником или справочной литературой, владеть приёмами смысловой группировки материала, выделения опорных пунктов, обеспечивающими организацию собственной умственной деятельности.
Более того, учитель математики в 5-х классах ориентируется не на то, каким пришел ребёнок в 5 класс, а каким должен стать. Для него важно не какова готовность школьника осуществлять учебную деятельность в изменившихся условиях, а как он готов к изменению конкретного учебного предмета- математика. И это, естественно, отражается на ведущих содержательно-методических линиях обучения математике в начальной школе эффективность обучения определяется реализацией утилитарных задач возможность изучать в 5-6 классах конкретный математический материал. И, конечно же, речь не идёт о выявлении сложившихся у ребёнка способов учебной работы, чтобы определить характер и возможности восприятия, хранения в памяти учебного материала, воспроизведения и преобразования его в разных условиях, а потом рационально организовать учебную деятельность школьников.
Всё это сказывается в снижении активности учащихся на уроке, потере интереса к учению, падении успеваемости, особенно в 5-6 классах. В этом случае преемственность между начальной школой и основной задаётся» как формальная связь самозамкнутых образовательных концентров, внутри которых совершаются некоторые процессы развития» (В.В. Давыдов).
Психологические исследования проблемы обучения решению задач показывают, что основные причины несформированности у учащихся общих умений и способности в решении задач состоит в том, что школьникам не даются необходимые знания о сущности задач и их решений, а потому они решают задачи, не осознавая должным образом свою собственную деятельность. У учащихся не вырабатываются отдельно умения и навыки в действиях, входящих в общую деятельность по решению задач, и потому им приходится осваивать эти действия в самом процессе решения, что многим школьникам не под силу.
Владение учащимися общим приёмом решения арифметических задач позволит самостоятельно анализировать частные явления, предлогаемые в задачах, самостоятельно конструировать их. Итак, в чём специфика работы над текстом задачи, тех общих принципов поиска пути решения, которые можно перенять на другие подобные задачи, в выявлении возможных сходств, различий в задачах, к которым применим найденный способ.
Отсутствие у учащихся умение обобщать есть одна из причин слабого владения ими системой знаний.
В.А. Далингер предлогает рассматривать обобщающие повторения на уровне понятий, системы понятий и теории.
Обобщающее повторение на уровне понятий направлено на актуализацию у учащихся умений обнаруживать существенные признаки понятий, изученных в данной теме, конструировать объект по определению понятий, приводить примеры объектов, принадлежащих и не принадлежащих объёму указанного понятия. Так, на уроках обобщающего повторения по решению задач рассматриваем ряд текстовых задач.
Пример 1.22. Один комбайнёр намолотил 231 т. зерна, а второй- на 46 т. меньше. Сколько зерна намолотили оба комбайнёра?
Ученики составляют таблицу:
| 1 комбайнёр | 2 комбайнёр | Вмести |
| 231 т. | на 46 т. меньше | ? |
Пример 1.23. У Андрюши 123 почтовые марки, а у Алёши в 3 раза меньше. Сколько всего почтовых марок у Андрюши и Алёши?
Вновь составим таблицу:
| У Андрюши | У Алёши | Всего |
| 123 | в 3 раза меньше | ? |
Пример 1.24. В одной пачке 23 книги и в ней на 8 книг меньше, чем во второй. Сколько всего книг в 2-х пачках?
Снова составим аналогичную таблицу, Вопрос: « Какую вы заметили закономерность в работе над этими задачами?» (В краткой записи, в зависимости между тремя величинами, в способе решения).
Формулируем следующий вопрос:
« При рассмотрении, каких ещё процессов в жизни можно аналогично решить задачи?» В результате получаем таблицу 3, которую можно заполнять в процессе работы над задачами на протяжении длительного времени.
Таблица 3
| процессы | Величины | V(скорость) | T(время, количество) | S(результат, продукт) |
| Работа | Выработка в единицу времени | Время | Вся работа |
| Купля - продажа | Стоимость одной вещи (Ц) | Количество предметов (К) | Вся стоимость (С) |
| Взвешивание | Масса одного предмета | Количество предметов | Вся масса |
| Движение | Расстояние в единицу времени (V) (скорость) | Время (t) | Всё расстояние (S) |
| Посадка | Количество деревьев в одном ряду | Количество рядов | Всего деревьев |
| Шитьё | Расход материала на одном изделие | Количество изделий | Всего материала |
Таким образом, удалось сформулировать такой важный приём, как обобщение, сущность которого состоит в том, что некоторое свойство, отношение, способов решения распространяется на боле широкий круг математических объектов (задач).
Одним из этапов формирования общего приёма анализа условий задачи как процесса является отношение между величинами.
Он состоит в том, что читая текст задачи, ученик прежде всего должен: 1)выделить действующие силы (объекты, ситуации); 2) определить их количество и характер взаимодействия (помогает или противодействует друг другу); 3) установить величины, характеризующие процесс; 4) выявить их отношение.
Главным условием, обеспечивающим успешное решение арифметических задач, является понимание учеником той ситуации, которая описана в задаче, а это становится возможным, если учеником усвоен общий приём анализа условия и вопрос задачи. Данный приём заключается в следующем:
1) выявление роли вопроса в нахождении способа решения;
2) переформулирование вопроса задачи;
3) формулирование одного или нескольких вопросов к условию задачи;
4) нахождение необходимых данных для ответа на вопрос задачи;
5) составление задачи по вопросу;
6) формулирование одной или несколько задач по данному вопросу.
К работе, обеспечивающей формирование общего подхода к решению задач, относим составление задач, обратных данной, с последующим решением. Например, рассмотрим задачу:
Пример 1.25. Купим 3 пакета кефира по 250 гр. в каждом и несколько пакетов кефира по 500 гр., если всего купили 2 кг 250гр. кефира?
Дети находят решение, затем:
3*250=7560 (гр.)
2250-750=1500 (гр.)
1500:500=3 (п)
Просим решить задачу по-другому, сокращая количество действий.
Такая работа служит подготовкой к введению в старших классах понятия обратной теоремы, к самостоятельной формулировке обратных теорий и их доказательству.
В процессе работы с задачами на движение используем физическую символику (t,v,s) и формулу (S=V*T). Понятие «равномерное движение» и «постоянная скорость» рассматривается с опорой на жизненный опыт детей. А понятие «неравномерное движение» и «средняя скорость» выясняем в ходе работы над задачей:
V1; t1
V1; t1
V2; t2
Пример 1.16. Автобус шел 2 часа со скоростью 60 км./ч.Какой путь прошёл автобус за эти 5 часов?
S1
S2
S
Так как нам известна зависимость между величинами, определяем все расстояния:
2*45+3*60=270 (км).
О
S1
бсуждаем с учениками обратные задачи: как найти, например V1, если известны все остальные компоненты, и т.д. Затем ставим перед учениками вопрос: «С какой постоянной скоростью автобус должен ехать, чтобы проехать все расстояние за те же 5 часов? Получаем следующий путь решения такой задачи:
S1
S1
S1
S1
S1
S1
S1
S1
S1
S1
Рис. 1.4.
После обсуждения решения назовём постоянную скорость – средней (Vср).
V = (45х2+3х60):5 = 54 (км/ч).
П
еред тем как предложить учащимся задачу на движение по течению реки и против течения, вывешиваем на доске плакат, на котором слева изображен пейзаж, а справа стрелки, назначение которых предстоит разобрать в классе.
Рис.1.5.
Н
а плакате проделана прорезь, в нее вставляется бумажная модель катера
а)
б)
Рис.1.6.
На одной модели дым отклонен вправо (Рис.1.6,а), а на другой влево (Рис.1.6,б). Эти модели предназначены для демонстрации различных направлений движения катера. Учащимся надо дать время, чтобы освоиться с моделями и таблицей. Поэтому сначала задаем совсем простые вопросы: «В какую сторону плывет катер?» (Демонстрируются сначала рис.1.6,а, а затем рис.1.6,б), «Что изображено на картинке?», «В какую сторону течет река?». Затем усложняем вопросы: «Какую модель нужно вставить в прорезь таблицы, чтобы катер двигался в том же направлении, в каком течет река? В противоположном направлении? Чья скорость обычно больше: скорость катера или скорость реки? Какая из стрелок (черная или серая) обозначает скорость течения реки? Скорость катера в стоячей воде? Что больше: скорость катера в стоячей воде или по течению реки? (против течения реки)? Чем объяснить, что скорость катера в стоячей воде не равна его скорости по течению (против течения)?»
Беседа заканчивается следующим выводом:
- если катер движется по течению реки, то его скорость равна собственной скорости катера (в стоячей воде), увеличенной на скорость течения реки;
- если катер движется против течения реки, то его скорость равна собственной скорости, уменьшенной на скорость течения реки.
Далее учащимся предоставляется таблица 4. В ней нужно заполнить пустые места, а для этого сформулировать самостоятельно и решить устно четыре задачи на движение катера по реке.
Таблица 4
| Скорость | Условия задачи |
| №1 | №2 | №3 | №4 |
| Собственная скорость катера (км/ч) | 30 | 36 | 22 |
|
| Скорость течения реки (км/ч) | 2 |
| 3 | 3 |
| Скорость катера по течению (км/ч) |
| 40 |
| 42 |
| Скорость катера против течения реки (км/ч) |
|
| 19 |
|
Такие задачи ребята решали еще в начальной школе. Поэтому затем целесообразно рассмотреть более сложную задачу:
Пример 1.27. «Скорость катера при движении по течению реки равна 40 км/ч, а при движении против течения она составляет 34 км/ч. Какова скорость течения реки?»
Решение задачи демонстрируется стрелками в таблице. Учащиеся воспроизводят их в своих тетрадях и схематически показывают, что скорость катера, идущего по течению реки, больше скорости катера, движущегося против течения реки, на удвоенную скорость движения реки. Таким образом, решение имеет вид: (40-34):2 = 3 (км/ч) – скорость движения реки.
После разбора данной задачи можно предложить ребятам разобрать следующую задачу:
Пример 1.28. Катер спустился вниз по реке к озеру. При этом за 2 часа он прошел 60 км. По озеру он двигался 3 часа со скоростью 28 км/ч, а потом поднялся по другой реке, которая впадает в то же озеро, за 4 часа. Узнайте путь, который прошел катер за все время движения, считая скорости течения рек одинаковыми.
В этой задаче учащимся придется столкнуться со всеми тремя изученными ситуациями – движение по течению реки, движение в стоячей воде и движение против течения.
Большое место должна занимать работа по обучению учащихся умению переводить текст задачи с естественного языка на алгебраический.
Например:
Пример 1.29. Я задумал число. Если его увеличить в 11 раз и результат уменьшить на 2,75, то получится 85,25. Какое число я задумал?
Результат оформляем следующим образом ( Таблица 5):
| На естественном языке | На языке алгебры |
| Я задумал число | х |
| Увеличить его в 11 раз | 11х |
| Результат уменьшить на 2,75 | 11х-2,75 |
| Получим в результате 85,25 | 11х-2,75=85,25 |
Таблица 5
В данном случае мы получили «дословный» перевод и составление уравнения свелось к записи последовательно выполняемых действий.
В дальнейшем, встречая задачи такого вида, учащиеся будут испытывать меньше затруднений при их решении. Главной ценностью этой работы считаем тот факт, что учащиеся получают возможность наблюдать, анализировать, сравнивать, делать выводы.
Думается, что сформированный общий прием работы над задачей позволит снять страх перед решением задач у учащихся, даст возможность рассуждать, находить зависимость между различными величинами и устанавливать соответствующие им действия. Учебная деятельность школьников, направленная на самостоятельный поиск путей, способов решения задач (ситуаций), формируют творческую личность.
2.3. Организация экспериментальной работы .
Исследование проводилось в МОУ «Привольновская ООШ» и включало несколько этапов. Основному обучающему эксперименту предшествовали констатирующий и поисковый.
При проведении исследования было сделано предположение о том, что обучение учащихся 5-6 классов решению текстовых задач на основе формирования приемов учебной деятельности будет способствовать реализации не только обучающих целей обучения математике, но и развивающих.
Констатирующая часть эксперимента проводилась нами в двух направлениях:
теоретический анализ проблемы обучения решению сюжетных задач в средней школе, направленный на исследование состояния и разработки в психолого-педагогической и методической литературе;
практическая (экспериментальная) часть, цель которой состоит в том, чтобы на основании полученного фактического материала:
а) установить сложившийся общий уровень умений и навыков школьников решать сюжетные задачи;
б) выяснить характер усвоения учащимися знаний и способов деятельности при решении задач;
в) определить уровни сформированности отдельных умений учащихся в структуре процесса решения задач.
Осуществить проверку умений и навыков учащихся решать сюжетные задачи позволили результаты выполнения проверочной контрольной работы №1. Из предложенных 20 заданий были решены только 12 задач (60%).Взаимно обратные задачи составили 9 учеников (62,3%), а задачи на движение 8 учеников (57,1%).
Результатом констатирующего эксперимента явилась проблема данного исследования, которая основывалась на следующем противоречии:
- с одной стороны для достижения целей математического образования необходимо формирование приемов учебной деятельности учащихся, что показано в научно-методической литературе, с другой стороны соответствующая деятельность учителя и учащихся при изучении текстовых задач, как правило, не реализуется.
В процессе поискового эксперимента была выдвинута гипотеза нашего исследований, а цель данного этапа была определена так: разработать содержание методики образования учащихся 5-6 классов решению текстовых задач, позволяющие целенаправленно формировать соответствующие приемы учебной деятельности.
В процессе обучающего эксперимента проводилась опытная проверка разработанной методики.
Мы выделили две цели обучения математике: обучающие и развивающие, что способствует углубленному изучению математики, развитию интереса учащихся к математике, их общего кругозора и общих способностей. В работе приведены примеры занятий, подготовка и проведение которых отличается более «свободной» формой проведения, более высоким уровнем инициативы учащихся, отсутствием деления на уровневые группы.
Для получения объективной картины применялись статистические методы (метод параметрических срезов, самостоятельные работы, тестовые задания).
Данные срезов, полученные в результате проверки плановых контрольных работ, подтвердили гипотезу об уровне и качестве усвоения учащимися умений и навыков, составляющих общее умение решать сюжетные задачи, мы судили по результатам итоговой контрольной работы №2,а так же на основании проведенного пооперационного анализа решения сюжетных задач школьниками по следующим параметрам:
а) умение выявить все структурные элементы решения задачи;
б) умение устанавливать все соотношения между ними;
в) умение аргументировано объяснить решение задачи;
г) умение составлять и формулировать взаимообратные задачи;
д) умение составлять и формулировать задачи на движение.
В таблице 6 приведены показатели, отражающие число правильно выполненных учащимися операций (в процентах).
Таблица 6
| Показатели | Исследуемый параметр |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| до эксперимента | 85,7 | 63,2 | 60,2 | 62,3 | 57,1 |
| После проведения эксперимента | 92,9 | 78,6 | 85,7 | 92,9 | 78,6 |
В начале года и
после завершения эксперимента были проведены контрольные работы типа «У» (учебные) и «Р» (развивающие). Контрольная работа типа «У» предусмотрена программой для 5-6 классов и взята нами из пособия В.И. Жохова «Преподавание математики в 5 и 6 классах: методические рекомендации для учителя». Контрольная работа типа «Р», в содержание которой вошел предварительный тест, разработанный в Московском институте. Результаты выполнения этих работ представлены в таблице 2 (где ∆ - приращение качественной успеваемости).
Таблица 7
|
| Начало года | Конец года | ∆ |
| «У» | 19% | 26,9% | 7,9 |
| «Р» | 23% | 34,6% | 11,6 |
Итог контрольной работы «У» на начало года: экспериментальный класс имел 19% качественной успеваемости. Итог контрольной работы «У» на конец учебного года: качественная успеваемость экспериментального класса – 26,9%. Качественная успеваемость на конец учебного года выше, чем была в начале учебного года. Итог контрольной работы «Р» на начало учебного года – экспериментальный класс 23% качественной успеваемости, на конец учебного года – 34,6% качественной успеваемости.
В таблице 3 приведены показатели прироста уровня общего развития в экспериментальном классе на начало и конец учебного года.
Таблица 8
| Начало года | Конец года | ∆ |
| 62,3% | 71,4% | 9,1 |
Один из результатов итогового контроля состоит в том, что удалось выявить скрытую одаренность некоторых учащихся (например, Котов Сергей, который на предыдущих этапах диагностики имел низкие результаты, а в итоге показал высокий уровень развития).
Заключение
Проблема поиска путей совершенствования системы обучения математике в современной личностно – деятельностной парадигмы образования привела к разработке теоретических основ технологии обучения математике с формированием приемов учебной деятельности учащихся в качестве системообразующего фактора. Для их практической реализации были построены: система приемов учебной деятельности, адекватная система целей к содержанию обучения математике в основной школе, и состав основных из них; методика формирования специальных приемов учебной деятельности как средства достижения развивающих и воспитательных целей математических знаний.
В разработанной методике выделены действия учителя и учащихся, причем деятельность учителя определяется содержанием и уровнем деятельности учащихся и содержит необходимые диагностические процедуры.
В процессе исследования были решены поставленные задачи и получены следующие результаты и выводы:
1. На основе анализа научно – методической литературы по теме исследования уточнен категориально – понятийный аппарат, относящийся к процессу формирования приемов учебной деятельности в курсе математики основной школы, а также выявлена недостаточность разработанности проблемы формирования системы приемов учебной деятельности при обучении решению текстовых задач в курсе математики основной школы.
2. Рассмотрены содержание и цели математического образования в рамках технологии формирования приемов учебной деятельности, а также принципы построения технологии формирования приемов учебной деятельности учащихся при обучении решению текстовых задач учащихся 5-6 классах.
3. Выделены и охарактеризованы различные классификации текстовых задач. В работе особое внимание было уделено алгебраическому и арифметическому подходу к решению текстовых задач, так как большинство задач школьного курса математики решаются исходя из этого подхода.
4. Проведенные констатирующий и формирующий педагогический эксперименты доказывают правомерность выдвинутой гипотезы о том, что обучение учащихся 5-6 классов решению тестовых задач на основе формирования приемов учебной деятельности будет способствовать реализации не только обучающих целей обучения математике, но и развивающих. Что способствует повышению эффективности обучения, вырабатывает у учащихся более общие и глубокие взгляды на способы решения школьных математических задач. Таким образом, обучение математике на основе приемов учебной деятельности не только влечет повышение уровня математической культуры учащихся, но и совершенствования учебного процесса в целом. Таким образом, поставленные задачи исследования были решены в полном объеме.
Библиографический список
Алтынов П.И. Контрольные и проверочные работы по математике. 5-6 кл.: Метод.пособие. – 5-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2001. – 128 с.: ил.
Балл Г.А. О психологическом содержании понятия «задача»//Вопросы психологии, 1970. - №6, с. 79.
Виленкин Н.Я.,Жохов В.И.,Чесноков А.С.,Швацбург С.И.Учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений. – 5-е изд. – М.: Издательство «Русское слово», 1998. – 358 с.
Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбург С.И. Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений. – 11-е изд., стереотип – М.: Мнемозина, 2002. – 304 с.
Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении (логико – психологические построения учебных предметов). – М.: Педагогика, 1972. – 423 с.
Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. – М.: ИНТОР, 1996. – 544с.
Далингер В.А., Загородных К.А. Методика организации и проведение самостоятельных работ учащихся в процессе обучения их решению текстовых задач: книга для учителя. – Омск: Издательство Ом ГПУ, 1996. – 101с.
Далингер В.А. Обучение учащихся решению текстовых задач методом составления уравнений .Пособие для учителяю.-Омский областной институт усовершенствования учителей,1991.-50 с.
Демидова Т.Е.,Тонких А.П.Теория и практика решения текстовых задач: Учебное пособие для студентов высш .пед. учебн. заведений .М.:Издательский центр «Академия»,2002 г.-288 с.
10.Домбровская Э.Ф. О подготовительном этапе к решению задач с помощью уравнений в курсе арифметики 5 класса // Математика в школе .-№ 1-1966.-с. 75-77.
11.Дорофеев Г.В.,Тараканова О.В. Постановка текстовых задач как один из способов повышения интереса к математике // Математика в школе .-№ 5.-1988.с. 25-28. 12.Дорофеев Г.В. Проверка решений текстовых задач // Математика в школе.-№ 5.-1974.-с.37-45.
12.Епишева О.Б. Специальная методика обучения арифметике,алгебре и началам анализа в средней школе: Курс лекций :Учебное пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. Вузов.-Тобольск: ТГПИ им. Д.И. Менделеева,2000.-126 с.
13.Епишева О.Б. Общая методика преподавания математике в средней школе: Курс лекций: Учебное пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. Вузов.-Тобольск: ТГПИ им. Д.И. Менделеева,2000.-126 с.
14.Епишева О.Б.,Крупич В.И. Учить школьников учиться математике.Формирование приемов учебной деятельности : Книга для учителя .-М.: Просвещение,1990.-128 с.
15.Жохов В.И. Преподавание математики в 5-6 классах: Методические рекомендации для учителя.-М.: Центр «Педагогический поиск»,2004.-143 с.
16.Загородных К.А. Формирование приемов учебной деятельности учащихся 4-5 классов при обучении решению текстовых задач : Автореферат кандидатской диссертации по методике преподавания математике.-М.:Издательство МГПИ им. В.И. Ленина,1989.-16с.
17.Зак А.З. Как определить уровень развития мышления школьника .-М.:Знания,1982.-96 с.
18.Зорина Л.Я. Слово учителя в учебном процессе.-М.:Знание,1984.-80 с.
19.Крупич В.И. Структура и логика процесса обучения математике в средней школе :Методические разработки по спец.курсу для слушателей ФПК-М.:Издательство МГПИ им. В.И. Ленина,1985.-117 с.
20.Крупич В.И. Решение задач с помощью уравнений учащимися в средней школе // Проблемы совершенствования преподавания математики в средней школе : Межвузовский сборник научных трудов.-М.: Издательство МГПИ им. В. И. Ленина.-1986.-с. 19-34.
21.Крутецкий В.А. Основы преподавания психологии.М.,1972г.-112 с.
22.Крутецкий В.А. Психология математических способностей.-М.: Просвещение,1968.-431 с.
23.Кулько Б.А.,Цехместрова Т.Д. Формирование у учащихся умений учиться:Пособие для учителей.-М.:Просвещение,1983. 24. Лейтес Н.С. Умственные способности и возраст.М.:1974,с.55. 25.Лурье М.В.,Александров Б.И. Задачи на составление уравнений .- М.:Наука,1976.-79 с.
26.Мартынова М.Ф. Об алгебраическом методе решения задач а 5 классе // Математика в школе,-№ 3.-1963.-с.48-51.
27.Менцис Я.Я. О подготовке учащихся к составлению уравнений // Математика в школе.№ 2.-1973.с.37-39.
28.Моденов В.П. О составлении уравнений при решении текстовых задач .// Математика в школе.№ 3,1969.-с.46-49.
29.Моторина Л.И. Задачи на движение в 5 классе.// Математика в школе.№ 5,2002.-с.51-52.
30.Овсянникова Л.А.,Шибаева Н.И. Выработка общеучебных и специальных умений и навыков учащихся в процессе обучения .// Математика в школе .-1982.-№ 4.-сю48-49.
31.Островский А.И. О задачах на «течение»// Математика в школе .-№ 6.-1965.-с.28-31.
32.Пидкасистый П.И. Организация деятельности ученика на уроке.-М.:Знание,1985.-(Новое в жизни,науки и технике.Сер. «Педагогика и психология»;З / 1985).
33.Полякова Т.Н. Нужна ли «проверка» при решении текстовых задач на составление уравнений? // Математика в школе.№ 1.-1971.-с. 45-46.
34.Радченко Е.В. Решение текстовых задач в 4-5 классах.// Математика в школе-№ 4.-1987.-с. 23-26.
35.Радченко В.П.Особенности работы с понятиями при решении задач с сюжетной фабулой.// Приемы активизации обучения математике: Мужвузовский сборник научных трудов .-Л.,-Издательство Ленинградского педиститута,1985.-с. 84-88.
36.Развитие общих учебных умений и навыков школьников: Рекомендации Министерства просвещения СССР // Воспитание школьников .-1984.-№ 4-с. 64-69.
37.Слепкань З.И. Психолого –педагогические основы обучения математике ( Формирование умений самостоятельной работы ): Сб. статей / Сост. С.И. Демидова ,Л.О. Денищева .-М.:Просвещение,1985.
38.Талызина Н.Ф.Что значит знать?//Советская педогогика.-1980.-№ 8.-97-104 с. 39.Турецкий Е.Н. Обучение пятиклассников решению задач алгебраическим методом .// Математика в школе .№ 1.-1966.-с.71-74.
40.Туманов С.И. Поиск решения задачи.-М.:Просвещение,1969.-280 с.
41.Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе : Учителю математике о психологии.-М.: Просвещение,1983.-160 с.
42.Фридман Л.М. Учись учиться математике :Книга для учащихся.-М.: Просвещение,1985.-112 с.
43.Фридман Л.Н.,Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи :Пособие для учащихся.-2-е Изд.,перераб. и доп.-М.:Просвещение,1984ю-175 с.
44.Царева С.Е. Обучение решению текстовых задач с ориентацией на формирование учебной деятельности учащихся // Методические рекомендации к практическим занятиям по методике преподавания математике. -М.: Изд-во МГПИ им. В.И. Ленина,-1985.-с. :?-68
45.Шохов-Троцкий С.И. Методика арифметики для учителей начальных школ.-М.,1915.
46.Явиманская И.С. Знания и мышления школьника.-М.: Знание,1985.-80 с. ( Новое в жизни, науке, технике. Серия « Педагогика и психология»; № 9 ).
64
Получите свидетельство
Вход
Формирование приемов учебной деятельности учащихся 5-6 классов при обучении их решению текстовых задач по математике (0.29 MB)
0
2942
160
Нравится
0
