Дроби в старинных задачах

Трудно представить, что было бы, если бы мы до сих пор не умели писать и считать. Наверное, жизнь была бы очень скучной и однообразной.
Математика — основа точных наук. Без неё невозможно построить корабль и самолет, автомобили и метрополитены, даже строительство домов требует точности. Любовь к точным наукам развивает умение логически мыслить, анализировать. Математика востребована во многих областях. Многие люди не задумываются о том, как важна математика в нашей повседневной жизни. Без нее мы не смогли бы построить здание, космический корабль, произвести какие-либо расчеты и многое, многое другое.
Без математики, да и вообще без любой другой науки, наша жизнь была бы скучной и однообразной, мы многого бы не узнали об окружающем нас мире, до сих пор бы считали, что Земля плоская и думали бы, что гроза это божье наказание, явление свыше. Без математики не развивалось бы машиностроение, и у нас не было бы современного оборудования, которое мы имеем сейчас, не было бы компьютеров, телевизоров, даже простых калькуляторов, не начала бы развиваться такая важная отрасль как робототехника.
Математика важна для каждого отдельного человека. С раннего возраста ребенок учится считать, постепенно учится решать задачи, уравнения, это помогает ему в дальнейшем научиться логически мыслить. В повседневной жизни мы так же постоянно сталкиваемся с простейшими расчетами и вычислениями, без математики это вызывало бы большие затруднения.
Впервые с математикой я познакомилась в математическом клубе «Малышок», куда мама привела меня еще до школы. В игровой форме нас учили считать, решать примеры и задачи. С тех пор я и полюбила эту науку.
Например, я очень люблю головоломки, разные математические задачи. Они помогают мне развиваться, и я всегда радуюсь, когда нахожу правильное решение. В школе математика стала моим любимым предметом. На уроках в 5 – 6 классах математики мы познакомились с дробями и видами дробей ( десятичные, обыкновенные, смешанные). Эта тема меня заинтересовала. Я самостоятельно изучила историю дробей. В поисках исторических сведениях о дробях и задачах я пользовалась математической литературой и ресурсами интернета. На тему: «Исторические сведения о дробях и старинные задачи на дроби» я решила сделать свой проект.


1). Когда появились дроби?
Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина.
В русском языке слово «дробь» появилось в VIII веке, оно происходит от глагола «дробить» - разбивать, ломать на части. В первых учебниках математики ( в XVII веке) дроби так и назывались – «ломаные числа» . У других народов название дроби также связанно с глаголами «ломать», «разбивать», «раздроблять».
С Древних времен людям приходилось не только считать предметы (для чего требовались натуральные числа), но и измерить длину, время, площадь, вести расчеты за купленные или проданные товары.
Не всегда результат измерения или стоимость товара удавалась выразить в натуральным числом. Приходилось учитывать и части, доли меры. Так появились дроби.
Современное обозначение дробей берет свое начало в Древней Индии; его стали использовать и арабы, а от них в XII – XIV веках оно было заимствовано европейцами. Вначале в записи дробей не использовалась дробная черта; например числа 1/5; 2 1/3
2
1 1
записывались так: 5 ; 3. Черта дроби стала постоянно использоваться лишь около 300лет назад.

2) Древняя Греция и Индия
Обыкновенные дроби широко употреблялись древними греками и индийцами. Современную систему записи дробей с числителем и знаменателем создал индийский ученый Брамагупта в Индии. Только там писали знаменатель сверху, а числитель – снизу и не писали дробные черты. Правила действий с дробями, изложенные, в IX веке распространились в мусульманских странах благодаря Мухаммеду Хорезмскому. В Западную Европу их привез итальянский купец и ученый Леонардо Фибоначчи из Пизы в XIII веке. Леона́рдо Пиза́нский (около 1170 — 1250 г.)
В греческих сочинениях по математике дробей не встречалось. Греческие ученые считали, что математика должна заниматься только целыми числами...
Творчество индийских математиков оказало огромное влияние на развитие арифметики (индийская десятичная позиционная нумерация), алгебры ( метод рассеивания для неопределенных уравнений первой и второй степени с двумя неизвестными) и тригонометрии (бесконечные ряды для синуса, косинуса и арктангенса).
«Подобно тому как солнце затмевает своим блеском звезды, так мудрец затмевает славу других людей, предлагая и особенно решая на народных собраниях математические задачи.» Брахмагупта
Старинная задача на дроби: 1.Брахмагупта, Индия, около 600г.
Слон, слониха и слонёнок пришли напиться к озеру, чтобы напиться воды. Слон может выпить озеро за 3ч, слониха - за 5ч, а слонёнок - за 6ч. За сколько времени они все вместе выпьют озеро?
Решение:
Слон - 1 озеро 3ч. Слониха- 1 озеро 5ч.
10 озер 30ч. 6 озер 30ч.

Слонёнок- 1 озеро 6ч
5озер 30ч.

НОК(3,5,6)=30

1)10+6+5=21(озеро) выпьют слон, слониха и слонёнок за 30часов,

2)30:21=1 3/7(ч) они вместе выпьют озеро.
Ответ: 1 3/7 часа
2. Староиндийская задача математика Сриддхары (XI век н. э.).
 Есть кадамба цветок.
На один лепесток
Пчелок пятая часть опустилась.

                         Рядом тут же росла
                         Вся в цвету сименгда,
                         И на ней третья часть поместилась.

Разность их ты найди,
Ее трижды сложи
И тех пчел на кутай посади.

                         Только две не нашли
                         Себе место нигде.
                         Все летали то взад, то вперед и везде
                         Ароматом цветов наслаждались.

Назови теперь мне.
Подсчитавши в уме,
Сколько пчелок всего здесь собралось?

3) Древний Египет
Позднее древние египтяне ввели в обращение дроби 1/2, 1/3, 1/28 – их называли основными или единичными, было специальное обозначение для дроби 2/3, не совпадающее с обозначениями для других дробей.
Все остальные дроби египтяне старались записать как суммы долей, т.е. дробей вида 1/n.
Например, вместо 8/15 они писали 1/3+1/5. Иногда это бывало удобно
-Древнеегипетский папирус около 2000 лет до н.э.
Методы подсчетов при помощи единичных дробей перешли от египтян в Грецию, от греков к арабам, а от них уже в Западную Европу.
Старинная задача на дроби: Задача из "Папируса Ахмеса" (Египет, 1850 г. до н. э.),
"Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают:
—    Сколько приводишь ты своего многочисленного стада?
Пастух отвечает:
—    Я привожу две трети от трети скота. Сочти!"
Используя схему, найди, сколько быков было во всем стаде?
 



4) Древний Рим
В Древнем Риме существовала двенадцатеричная система дробей (единица делилась на двенадцать долей). Это было связано с тем, что денежная единица древних римлян (она же единица веса) асc делилась на двенадцать унций. Унцией называли не только мелкую монету, но и вообще дробь, которую мы называем «одна двенадцатая», даже если она употреблялась для измерения длины. Ещё в первом веке до нашей эры выдающийся римский оратор и писатель Цицерон говорил: «Без знания дробей никто не может признаваться знающим арифметику!».
Старинная задача на дроби: Древнеримская задача (IIв.)
Некто, умирая, завещал: « Если у моей жены родится сын, то пусть ему будет 2/3 имения, а жене – остальная часть. Если же родится дочь, то ей 1/3, а жене 2/3». Родилась двойня – сын и дочь. Как же разделить имение?

5) Вавилон
В Вавилоне математика зародилась задолго до нашей эры . Вавилонские памятники в виде глиняных плиток с клинописными надписями хранятся в различных музеях мира.
Самые первые систематические дроби появились в Вавилоне за 2 тысячи лет до нашей эры. В них единица делилась на шестьдесят долей, так как «круглым» числом у вавилонян считалось не 10, а 60. Например:

Вавилонские дроби, в отличие от всей шестидесятеричной системы счета, были заимствованы древними греками, а от них и европейцами. Этой системой пользовались в Западной Европе, в основном астрономы, до конца XVI века. В Древнем Вавилоняне были основоположниками астрономии, создали шестидесятеричную систему счисления, решали уравнения второй степени и некоторые виды уравнений третей степени при помощи специальных таблиц. Например:

«Я совершаю запутаннейшие деления и умножения…» Ашшурбанипал
Выдающийся самаркандский математик Гиясэддин Джемшид ал-Каши (XIV-XV века) ввел десятичные дроби, которыми мы пользуемся и сейчас. Когда в XVI веке голландский купец и инженер Симон Стевин познакомил с ними Европу, они полностью вытеснили громоздкие шестидесятеричные дроби.


6) Древний Китай
Возникновение китайской цивилизации на берегах реки Хуанхэ относится к началу II тыс. до н. э.
Среди важнейших достижений китайской математики отметим: правило двух ложных положений, введение отрицательных чисел, десятичных дробей, методов решения систем линейных уравнений, алгебраических уравнений высших степеней и извлечение корней любой степени.
«Три пути ведут к знанию:
Путь размышления – самый благородный,
Путь подражания – самый легкий
И путь опыта – это путь самый горький…» Конфуций
Старинная задача на дроби: Китай, II век н.э.
Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного моя до южного моря летит 9 дней. Теперь утка и гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся?

7) Древняя Русь
Дроби в Древней Руси называли долями, позднее ломаными
числами. Так у дробей с числителем 1 были свои названия.

1/2- половина, полтина.

1/3 - треть.

1/4 - четь.
1/6 - полтреть.

1/8- полчеть.

1/12- полполтреть.

1/10 – десятина (1,09 га)
Славянская нумерация употреблялась в России до XVI века. И только при Петре I стала вводится десятеричная система счисления, которая и сохранилась до наших дней. В 1903 г вышла в свет “Арифметика” Л. Ф. Магницкого, в которой в первой части изложены действия с целыми числами, во второй - с ломаными, т.е. дробями.
- Магницкий Леонтий Филиппович (1669 -1739) «Арифметика или числительница есть художественное честное, независимое и всем удобопонятное многополезнейшее и многохваленнейшее…» Л. Ф. Магницкий

Старинные задачи на дроби: Задача Л. Ф. Магницкого (из «Арифметики»).

Послан человек из Москвы на Вологду, и велено ему в хождении своем совершати на всякий день по 40 верст; потом другий человек в другий [на следующий] день послан в след его, и велено ему идти на день 45 верст, и ведательно есть, в коликий день постигнет [догонит]второй первого.

Двенадцать человек:

Двенадцать человек несут 12 хлебов: каждый мужчина несет по 2 хлеба, женщина — по половине хлеба, а ребенок по четверти хлеба.

Сколько было мужчин, женщин и детей?

8) Словарь единиц измерения

Верста (поприще) – мера длины, равная 1,06 км

Аршин – мера длины, равная 0,71 м

Алтын – денежная единица, равная 3 копейкам

Полушка – денежная единица, равная 0,25 рублей

Гривна – денежная единица, равная 10 копейкам

Фунт – мера веса, равная 453,6 г

Сажень – мера длины, равная 2,13 м

Четверть – мера, равная четвертой части какой-либо единицы

измерения

Пядь – расстояние между вытянутыми большим и указательным пальцами руки при их наибольшем удалении. (19 – 23 см)

Локоть – расстояние от конца вытянутого среднего пальца руки до локтевого сгиба. (38 – 46 см)

Вершок – мера длины, равная 4,5 см
Дробь – это не изобретение математиков, это понятие, которое люди разных стран и в разные исторические периоды сами придумали и использовали в своей жизни. Каждый народ придумывал свои названия и запись дробей, а математики только систематизировали это и придумали удобную форму записи.