Числовые последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей

Тема: « Числовые последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей».

Функции, область определения которых является множеством натуральных чисел или его частью, называются  числовыми последовательностями.

Пример:

числовой последовательностью является 1,3,5,7,9...

Числа, записанные в последовательности, называются членами последовательности. Обычно их обозначают маленькими буквами, например, а_1,а_2,а_3...а_n…, где индекс 1,2,3,4…n… после буквы а указывает на порядковый номер каждого члена последовательности.

Общий вид последовательности — это (а_n), или  a₁,a₂,a₃...a_n...

 а_n называется общим членом последовательности, или n-м членом, где n — порядковый номер члена последовательности.

У натуральных чисел, считая от 1, десятый член последовательности — это a₁₀=10.

Последовательность возможно задать, указав все её члены или указав общую формулу. Формула показывает, как найти любой член последовательности, если известен порядковый номер n.

Пример:

в последовательности, где общая формула a_n=3n, написать a) первые четыре члена; b) двадцатый член. 

 a) Если n=1, то вместо n в формулу подставляется 1:  a₁=3⋅1=3; 

                  a₂=3⋅2=6;

                  a₃=3⋅3=9;

                  a₄=3⋅4=12.

b) Если n=20, то вместо n в формулу подставляется 20: a₂₀=3⋅20=60.

Числовая последовательность бесконечна, если вместо n можно подставлять любые другие натуральные числа (бесконечное множество).

Определение: Функцию y=f(x), x∈N, называют функцией натурального аргумента, или числовой последовательностью, и обозначают: y=f(n), или y₁,y₂...y_n..., или y(n).

Последовательности можно задавать:

1. словесно

— когда правило последовательности описано словами, без указания формулы.

Пример:

последовательность простых чисел: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31...

2. аналитически

— когда указана формула её n-го члена.

Пример:

1. y_n=n²;

последовательность 1,4,9,16...n²...

Шаги решения:  n=1,2,3...

Y₁=12=1;y₂=22=4;y₃=32=9;y₄=42=16;y₅=...

2. y_n=5(y_n=C);

последовательность

5,5,5...5...(C,C,C...C...).

Шаги решения:

Y₁=5;y₂=5;y₃=5;y₄=...

Последовательность y_n=C называют постоянной, или стационарной;

3. рекуррентно

— когда указывают правило, позволяющее вычислить n-й член последовательности, если известны её предыдущие члены.

 - Арифметическая прогрессия — (a_n), заданная рекуррентно соотношениями: a₁=a, a_n+1=a_n+d.

- Последовательность Фибоначчи — в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел.

a_n+1=a_n+a_n-1,1,2,3,5,8,13,21,34,55...

4. графически

— график последовательности состоит из точек с абсциссами  1,2,3,4...

Свойства числовых последовательностей.

Последовательность называется возрастающей, если для любого n∈N  выполняется неравенство a_nn+1.

Последовательность называется убывающей, если для любого n∈N выполняется неравенство a_na_+n1.

Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными.

Пример:

1. Последовательность, заданная формулой a_n=n/n+1, является монотонной, возрастающей, т. к. разница a_n+1−a_n=n+1/n+2−n/n+1=1/(n+1)⋅(n+2)0, то есть a_nn+1.

2. Последовательность с общим членом a_n=1+(−1)ⁿ не является монотонной, т. к. a₁₂,a₂a₃

.

Последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число M∈R, что a_n≤M. При этом число M называется верхней границей последовательности.

Последовательность называется ограниченной снизу, если существует такое число m∈R, что a_n≥m. Число m называется нижней границей последовательности.

Пример.

1. последовательность, заданная формулой a_n=n (1,2,3...n...), ограничена снизу, но не ограничена сверху.

2. Последовательность, заданная формулой a_n=(−1)ⁿ n; (−1,2,−3,4...(−1)ⁿ n...), не ограничена ни сверху, ни снизу.

Последовательность называется ограниченной, если она одновременно ограничена и сверху, и снизу.

Тренировочный тест:

1.Запишите первые пять членов последовательности, если общая формула последовательности a_n =0,7 Ответ: a₁; a₂; а₃; а₄; а₅?

2.Дана последовательность: 2,3,5,8,13,… Найдите 13-й член этой последовательности (Посмотрите последовательность Фибоначчи).

Ответ:

3.Найдите три первые члена последовательности a_n=(-1)⁷ⁿ+7n и вычислить их сумму. Ответ: a₁; a₂; а₃? S₃=?

4.Вычислите три последующих члена последовательности, если a₁=9 и

a_n=5a_n-1+4 Ответ: a₂; а₃; а₄

5. Дана последовательность, у которой a₁=11,a₂=7 и a_n=5a_n-2 - a_n-1.

Определите вид последовательности и вычислите четвертый член последовательности

Ответ:

6.Укажите номер члена последовательности у_n=20-n/5n+6, равного17/21. Ответ: ?

Тема «Понятие о пределе последовательности»

Рассмотрим   по рисунку две числовые последовательности ( у_{n )} и (x_n).

Замечаем, что члены последовательности (x_n) как бы «сгущаются» около точки 0 – говорят последовательность сходятся , а у последовательности (у_n) такой точки сгущения нет – и говорят, что последовательность расходится. 

Математики не используют термин точка сгущения, а они говорят предел последовательности.

Определение: Число b называется пределом  последовательности (x_n), если в любой заранее выбранной окрестности  точки b содержится все члены последовательности, начиная с некоторого номера. 

Пишут так: у_n→b или =b

 читают так: предел последовательности у_n при стремлении n к бесконечности равен b. 

На практике используется еще одно истолкование равенства  =b, связанное с приближенными вычислениями: если последовательность у_n = f(n) сходится к числу b, то выполняется приближенное равенство f(n)≈b, причем это приближенное равенство тем точнее, чем больше n. 

Иначе:

Возьмём интервал (b−r₁;b+r ₁ ) т. е. окрестность точки b; r₁ — радиус этой окрестности (r₁0). Существует номер n₁, начиная с которого вся последовательность содержится в указанной окрестности: y_n1∈(b−r₁;b+r₁),y_n1+1∈(b−r₁;b+r₁),y_n1+2∈(b−r₁;b+r₁) и т. д.  

Пример:

дана последовательность (yn): 1,1/2,1/3,1/4...1/n...

Доказать, что =0.

Решение.

Возьмём любую окрестность точки 0, пусть её радиус равен r.

Ясно, что всегда можно подобрать натуральное число n₀ так, чтобы выполнялось неравенство 1/n₀.

Если r=0,001, то в качестве n₀ можно взять 1001, поскольку 1/1001, и т. д.

Это значит, что член последовательности (y_n) с номером n₀, т. е. y_n0, попадает в выбранную окрестность точки 0. Тем более, в этой окрестности будут находиться все последующие члены заданной убывающей последовательности y_n=1/n. В соответствии с определением это и означает, что  =0.

Для наглядности построим график последовательности y_n=1/n, который состоит из точек с абсциссами 1,2,3,4..., лежащих на ветви гиперболы y=1/x.

Так как  =0, то прямая y=0 является горизонтальной асимптотой графика функции y=1/x,x∈N.

Формулы вычисления пределов последовательностей:

Необходимое условие сходимости произвольной числовой последовательности:

Для того чтобы последовательность сходилась, необходимо, чтобы она была ограниченной. 

Достаточное условие сходимости последовательности. 

Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится. (теорема К.Вейерштрасса) 

Свойства сходящихся последовательностей 

1.Если последовательность сходится, то только к одному пределу. 

2.Если последовательность сходится, то она ограничена. 

3. Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится. 

Если |q|1, то последовательность у_n= qⁿ расходится. 

Приведём классический пример из геометрии, в котором используется теорема Вейерштрасса.

 Возьмём окружность и будем последовательно вписывать в неё правильные многоугольники:

4-угольник, 8-угольник, 16-угольник и т. д. Последовательность площадей этих правильных многоугольников возрастает и ограничена (снизу числом 0, а сверху, например, числом, выражающим площадь описанного около окружности квадрата).

 Значит, построенная последовательность сходится, её предел принимается за площадь круга.

 Именно с помощью таких рассуждений и получена в математике формула площади круга S=πr². 

Теоремы о пределах последовательностей. 

1.

2. Если 1, то