"Арифметическая прогрессия"

к

АРИФМЕТИЧЕСКАЯ

ПРОГРЕССИЯ

ГУО «СШ № 99 г. Минск»

Кабинет математики № 15

Будем выписывать в порядке возрастания положительные четные числа. Получим последовательность: 2; 4; 6; 8; …; Очевидно, что на пятом месте в этой последовательности будет число 10, на десятом- число 20, на сотом- число 200. Вообще для любого натурального числа n можно указать соответствующее ему положительное четное число; оно равно 2*n .

Рассмотрим еще одну последовательность. Будем выписывать в порядке убывания правильные дроби с числителем, равным 1: 1/2; 1/3; 1/4; 1/5; 1/6; …; Для любого натурального числа n можно указать соответствующую ему дробь; она равна . Числа, образующие последовательность, называются членами последовательности . Члены последовательности обычно обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена. Например, а 1 , а 2 , а 3 , а 4 и т. д .

Член последовательности с номером n, или, как говорят, n-ый член последова-тельности , обознают а n .Саму последовательность обозначают (а n ) . Последовательность может содержать конечное число членов. В таком случае её называют конечной . Например, конечной является после-довательность двухзначных чисел: 10; 11; 12; 13; …; 98; 99 .

Чтобы задать последовательность, нужно указать способ, позволяющий найти член последовательности с любым номером. Часто последовательность задают с помощью формулы n-ого члена последовательности . Например, последовательность положительных чётных чисел можно задать формулой а n =2n , последовательность правильных дробей с числителем, равным 1, ─ фор-мулой b n = .

Пример 1: Пусть последовательность задана формулой . Подставляя вместо n натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5 и т. д., получаем: у 1 =-2; у 2 =-2; у 3 =0; у 4 =4; у 5 =10; … Рассматриваемая последовательность начинается так: -2; -2; 0; 4; 10; …

Пример 2: Пусть последовательность задана формулой . Все члены этой последовательности с нечетными номерами равны -10, а с четными номерами- 10: х 1 =-10; х 2 =10; х 3 =-10; х 4 =10; х 5 =-10; … Получаем последовательность: -10; 10; -10; 10; -10; … .

Рассмотрим последовательность натуральных чисел, которые при делении на 4 дают в остатке 1: 1; 5; 9; 13; 17; 21; … . Каждый ее член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену числа 4.Эта последовательность является примером арифметической прогрессии .

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начинается со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Иначе говоря, последовательность (а n ) ─ арифметическая прогрессия, если для любого натурального n выполняется условие: а n+1 =а n +d , где d – некоторое число .

Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом равна d, т. е. при любом натуральном n верно равенство а n+1 ─а n =d Число d называют разностью арифметической прогрессии . Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать её первый член и разность.

Приведём примеры. Если а 1 =1, то получим арифмети-ческую прогрессию 1; 2; 3; 4; 5; … , члены которой – последовательные натуральные числа. Если а 1 =1 и d=2, то получим арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7; 9; … которая является последовательностью положительных нечетных чисел.

По определению арифметической прогрессии а 2 =а 1 +d а 3 =а 2 +d=(а 1 +d)+d=а 1 +2d а 4 = а 3 +d=(а 1 +2d)+d=а 1 +3d а 5 =а 4 +d=(а 1 +3d)+d=а 1 +4d . Чтобы найти аn, нужно к а 1 приба- вить (n-1)*d, т. е. а n = а 1 +d*(n-1) .

Любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида а n = k  n+b , где k и b – некоторые числа. Верно и обратное: последовательность (а n ), заданная формулой вида а n = k  n+b , где k и b – некоторые числа, является арифметической прогрессией.

Пусть требуется найти сумму первых ста натуральных чисел. Обозначим искомую сумму чисел S и запишем ее дважды, расположив в первом случае слагаемые в порядке возрастания, а во втором ─ в порядке убывания: S=1+2+3+…+98+99+100 S=100+99+98+…+3+2+1

Каждая пара чисел, расположенных друг под другом, дает в сумме 101. Число таких пар равно 100. Поэтому, сложив равенства почленно, получим: 2S=101*100 S=(101*100)/2=5050 Итак, 1+2+3+…+98+99+100=5050 .

С помощью аналогичных рассуждений можно найти сумму первых членов любой арифметической прогрессии. Обозначим сумму n первых членов арифметической прогрессии (а n ) через S n и запишем ее дважды, расположив в первом случае слагаемые в порядке возрастания их номеров, а во втором случае в порядке убывания: S n =а 1 +а 2 +а 3 +а 4 +…+а n-1 +а n (1) S n =а n +а n-1 +а n-2 +а n-3 +…+а 2 +а 1 . (2)

Сумма каждой пары членов прогрессии, расположенных друг под другом, равна а 1 +а n . Действительно, а 2 +а n-1 =(а 1 +d)+(а 1 -d)=а 1 +а n а 3 +а n-2 =(а 2 +d)+(а 2 -d)=а 2 +а n-1 =а 1 +а n а 4 +а n-3 =(а 3 +d)+(а 3 -d)=а 3 +а n-2 =а 1 +а n и т. д.

Число таких пар равно n. Поэтому, сложив почленно равенства (1) и (2), получим: 2  S n =(а 1 +а n )  n Разделив обе части на 2, получим формулу суммы n первых членов арифмети-ческой прогрессии : S n = . ( I)

Если заданы первый член разность арифметической прогрессии, то удобно пользоваться формулой суммы, представленной в другом виде. Подставим в формулу (I) вместо аn выражение а 1 +d*(n-1), получим: S= т. е. S= .( II)

КОНЕЦ