ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ №54
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА
по теме
«Алгебра логики (алгебра высказываний)
или булева алгебра»
составитель: Метёлкина Н.И.
Москва
АННОТАЦИЯ
Представленный материал рекомендуется использовать для подготовки и проведения занятий по информатике при изучении темы «Основы логики» в группах НПО и СПО.
В работе рассматривается понятие логики, кратко раскрываются основные этапы в развитии логики, даются основные термины. Теоретические положения сопровождаются примерами.
Основное внимание уделяется алгебре высказываний, основным операциям над высказываниями. Подобраны примеры и типовые задания с решениями. Составлены упражнения для закрепления, а также задания для контроля знаний.
Цели:
Образовательная:
Объяснить учащимся смысл слова «логика».
Рассказать об основных этапах развитии логики как науки.
Рассмотреть:
основные понятия логики высказываний: высказывание, значение истинности;
простые и сложные высказывания;
символика логики высказываний;
логические операции: отрицание, умножение, сложение, импликация, эквиваленция;
сложные высказывания, построение таблиц истинности.
Разобрать типовые примеры по теме.
Воспитательная:
формирование внимательного отношения к изучаемой теме;
формирование умения ставить цели учебной деятельности и стремления добиться их;
развитие приемов выделения опорных пунктов.
Развивающая:
развивать умение делать выводы и обобщения, вести конспект;
развивать у учащихся уверенность в своих силах.
Требования к знаниям и умениям учащихся:
учащиеся должны знать:
понятие логики;
основные элементы алгебры логики;
основные логические операции (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция), их таблицы истинности.
учащиеся должны уметь:
определять высказывания из предлагаемых предложений;
создавать из простых высказываний сложные;
определять истинность заданных высказываний.
СОДЕРЖАНИЕ
Что такое ЛОГИКА ? 5
Этапы развития логики 8
Суждения, силлогизмы, софизмы 8
Примеры древнегреческих софизмов 9
Современная логика 10
Высказывания 11
Примеры высказываний 11
Операция логического отрицания (инверсия). 12
Операция логического умножения (конъюнкция). 12
Операция логического сложения (дизъюнкция). 13
Примеры 13
Импликация 14
Эквивалентность 15
Квантор общности 15
Квантор существования 15
Строгая дизъюнкция (двойное ИЛИ) 15
Образцы решения типовых заданий …………………………………...16
Упражнения 18
Контроль знаний 19
Дополнительные задания………………………………………………..23
Список используемой литературы…………………………………… 25
Учебная литература ……………….…………………………………….26
Приложения …………………………….………………………………..27
Что такое ЛОГИКА ?
Логика-от греческого logos-слово, понятие, рассуждение, разум.
Логика - исследует структуру мышления (законы и формы), раскрывает лежащие в его основе закономерности движения к истине (мышление рассматривается как инструмент познания окружающего мира).
«Отец логики» - древнегреческий философ Аристотель (384-322 г.г. до н.э). Он обладал самым универсальным умом среди соплеменников, отмечал, что к числу необходимого следует отнести безусловно доказанное, истинное.
Логика как наука непрерывно совершенствуется и развивается.
Логика рассматривает и правильное мышление и неправильное (логические ошибки, софизмы, паралогизмы).
Логика Аристотеля – формальная (о выводе одних умозаключений из других сообразно их логической форме). Аристотель первым систематизировал формы и правила мышления, исследовал категории «понятие» и «суждение», разработал теорию умозаключений и доказательств, сформулировал основные законы мышления. Формальная логика - наука о законах и формах правильного мышления.
Основные формы мышления
В логике выделяют следующие формы мышления: понятие, суждение и умозаключение.
Примеры понятий:
-апельсин,
-автомобиль,
-река Волга,
-ураганный ветер,
-ученик сельской школы.
Например, признаками понятия апельсин являются круглый, ароматный, упругий, сладкий, ароматный. Можно ли по этим признакам отличить апельсин от неапельсина ? Да, мы отличим апельсин от яблока, но не отличим от мандарина. Большой мандарин можно спутать с маленьким апельсином. Поэтому для точной идентификации апельсина необходимо ввести дополнительные признаки.
Существенными называются такие признаки, каждый из которых, взятый отдельно, необходим, а все вместе достаточны, чтобы с их помощью отличить (выделить) данный предмет (явление) от всех остальных и сделать обобщение, объединив однородные предметы в множество (класс).
Всякое понятие характеризуется содержанием и объемом.
Содержание - это совокупность существенных признаков рассматриваемого класса.
Например: Квадрат - это понятие.
Быть прямоугольником, иметь равные стороны - это содержание понятия.
Объем - это совокупность (количество) предметов, имеющих существенные признаки рассматриваемого класса.
Например, понятие “Квадрат” - это ВСЕ прямоугольники с равными сторонами.
суждение (высказывание, утверждение) - форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах, их свойствах или отношениях между ними;
Примеры суждений:
-Этот апельсин вкусный.
-Некоторые числа не являются четными.
-Если прошел дождь, то на улице сыро.
Суждения выражаются в форме повествовательных предложений.
Суждения бывают простыми и сложными.
Например, Наступила осень - простое суждение
Наступила осень, и улетают птицы - сложное, состоящее из 2 простых.
Всякое суждение может быть истинным или ложным по своему содержанию.
Содержание суждения - это то, о чем в нем идет речь, его смысл.
Одно и то же суждение разными людьми может восприниматься как истинное или ложное в зависимости от их взглядов, жизненного опыта, культуры, воспитания, образования и т. д.
Например, для кого-то истинным является то, что свободу, безопасность и комфорт дают законы, а для кого-то свободу, безопасность и комфорт дают большие деньги.
Логическая форма суждения - это его строение, способ связи его составных частей.
Форма суждения, в отличие от его содержания, объективна, т.е. не зависит от тех или иных взглядов того или иного человека.
Определим логическую форму следующих суждений:
- Все реки впадают в море.
- Все школьники - отличники.
- Все планеты вращаются вокруг своих звезд.
Во всех этих суждениях различное содержание, но они имеют одинаковую логическую форму: Все S есть P.
Суждения:
-Все медузы не имеют головы.
-Люди не боги,
имеют другую логическую форму: Все S не есть P.
Посылками могут быть только истинные суждения.
Например, Все люди смертны.
Сократ - человек.
_________________
Сократ - смертен
Форма такого умозаключения:
Все S есть P.
Некоторые А есть S.
____________________
Некоторые А есть Р.
Примеры верных умозаключений:
| Умозаключение | Форма умозаключения
|
| Все граждане России имеют право на отдых. Я - гражданин России. Я имею право на отдых.
| Все S есть Р. А есть Р. А есть Р. |
| Четырехугольник (S1), у которого противоположные стороны параллельны (Р), есть параллелограмм (S2).
Квадрат (S3) - это четырехугольник (S1), у которого противоположные стороны параллельны (Р).
Квадрат - это параллелограмм.
| Если S1 есть Р, то S1 есть S2.
Все S3 есть S1 и все S3 есть Р.
Все S3 есть S2. |
| Если цветы поливают, то они не засохнут. Цветы засохли. Цветы не поливали.
| Если S есть Р1, то S есть P2. А есть Р2. А есть Р1. |
Примеры неверных умозаключений:
1) Все зебры полосаты. Все S есть Р.
Это животное полосато. Некоторый А есть Р.
_____________________ __________________
Это животное - зебра. Некоторый А есть S.
Логическая ошибка - поспешное обобщение.
2) Все школьники - отличники.
Вовочка - школьник.
__________________________
Вовочка - отличник.
Одна из посылок ложна, поэтому об истинности или ложности заключения судить нельзя.
Основной принцип формальной логики: правильность рассуждения (умозаключения) определяется только его логической формой (структурой) и не зависит от конкретного содержания входящих в него суждений.
Логика Иммануила Канта (1724-1804; немецкий философ) – трансцендентальная (ввел логическое содержание - качество общих понятий)
Немецкий философ Георг Вильгельм Фридрих Гегель (1770-1831) разработал основание диалектической логики (исследование развития человеческого познания). Главное - сущность и явление, причина и следствие, качество и количество, внутреннее и внешнее.
Этапы развития логики
1. Традиционная логика (началась с Аристотеля)
- изучение умозаключений, суждений, понятий, операций над ними.
2. Классическая логика (символическая, математическая)
- применение методов формализма и математических методов.
3. Неклассическая логика (модальная или философская)
- использование формальных методов для анализа содержательных
реалий.
Суждения, силлогизмы, софизмы
I. Виды суждений:
1.общеутвердительные: “все S суть P”
Пример. “Все рыбы - животные”
“Все квадраты прямоугольники”
2. Общеотрицательные: “Никакое S не есть P”
Пример. “Никакие рыбы не являются птицами”
“Никакие тругольники не являются квадратами”
3. Частноутвердительные: “Некоторые S суть P”
Пример. “Некоторые прямоугольники - квадраты”
“Некоторые люди - испанцы”
4. Частноотрицательные: “Некоторые S не суть P”
Пример. “Некоторые грибы несъедобны”
“Некоторые тругольники не равнобедренны”
II. Силлогизмы:
Силлогизмы - это схемы логических выводов, состоящих из трех суждений одного из перечисленных видов: два первых суждения - посылки, третье заключение.
Пример. “Все птицы - животные”
“Все воробьи - птицы”, следовательно,
“Все воробьи - животные”
III Софизмы.
Софизмы - рассуждения, приводящие к явно нелепым выводам (от древнегреческого sophisma - хитрость).
Примеры древнегреческих софизмов:
«То, чего ты не потерял, ты имеешь. Ты не потерял рогов. Следовательно ты рогат.»
«Эта статуя - художественное произведение. Но она - твоя. Значит, она есть твое художественное произведение.»
Софистами в древней Греции сначала называли людей, достигших совершенства в какой-либо области: ремесле, музыке и т.д. Затем этим словом называют философов-профессионалов, учителей мудрости и красноречия, а позже это слово приобрело нарицательное значение по отношению к людям, преуспевающим в приёмах вводить слушателей в заблуждение.
3. «Вор не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего есть дело хорошее. Следовательно, вор желает хорошего».
Современная логика
Современная формальная логика (логика XIX в.) базируется на математических методах. Первые идеи о “математизации” логики появились в XVII веке:
французский философ и математик Рене Декарт (1596-1650) рекомендовал в логике использовать общепринятые математические методы.
немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) предложил детальную программу логических исследований методами математики; предложил использовать в логике математическую символику, впервые высказал мысль о возможности применения в ней двоичной системы счисления. Так зарождалась математическая (символическая) логика.
отец математической логики - английский математик XIX в. Джордж Буль (1815-1864): раздел математической логики так и называется - булева алгебра (возможность изучения свойств математических операций, осуществляемыми не обязательно над числами – это символический метод). В своем труде «Математический анализ логики» Дж. Буль перенес на логику законы и правила алгебраических действий, ввел логические операции, предложил способ записи высказываний в символической форме, т.е. математическая логика представлена как своеобразная алгебра - алгебра логики (алгебра высказываний).
Большой вклад в становление и развитие математической логики внесли:
Аугуст де Морган (1806-1871)
Уильям Стенли Джевонс(1835-1882)
Платон Сергеевич Порецкий(1846-1907)
Чарлз Сандерс Пирс(1839-1914) и др.
Математическая логика сегодня –
это раздел математики;
это логика, развиваемая математическими методами;
нашла применение в вопросах конструирования и применения вычислительных машин.
Алгебра логики является основой работы логических схем и устройств ЭВМ.
Общее между формальной и математической логикой – это законы и категории логики (в формальной логике законы имеют абстрактную форму, в математической логике они конкретны, обладают строгой определённостью и реализуются на практике конкретными техническими средствами).
Высказывания
Объектами изучения алгебры высказываний являются высказывания.
Примеры высказываний
1. город Вашингтон - столица США (истинное высказывание)
2. число 2 является делителем числа 7 (ложное)
3. 3+5=2 4 (истинное)
4. 2+610 (ложное)
5. II+VI VIII (ложное)
6. сумма чисел 2 и 6 больше 8 (ложное)
7. F=m a (ложное)
8. Na - металл (истинное)
Под высказыванием понимается повествовательное предложение, относительно которого определено - истинно (значение 1) оно или ложно (значение 0).
Высказывания 1-8- простые (элементарные)
Простые высказывания будем обозначать заглавными латинскими буквами:
A={квадрат - это ромб}
B={Волга впадает в Черное море}
Если высказывание А истинно, то пишется «А=1», если высказывание ложно, то пишется «А=0».
Из элементарных высказываний как из кирпичиков строятся сложные высказывания (формулы логики высказываний).
Примеры простых высказываний и предложений, не являющихся высказываниями:
А= {Солнце светит для всех}, A = 1 - истинное высказывание.
В= {Все ученики любят информатику}, B= 0 - ложное высказывание.
С= {А ты любишь информатику?} - не высказывание, т. к. не является повествовательным предложением.
Д= {Посмотри в окно} - не высказывание, т. к. является побудительным предложением.
Е= {2 Х-50} - не высказывание, т. к. для одних значений Х это выражение будет верным, а для других нет.
Примеры сложных высказываний:
число 6 четно ИЛИ число 8 нечетно
число 6 четно И число 8 нечетно.
Сложные высказывания образуются из простых высказываний, объединенных союзами И, ИЛИ, частицей НЕ.
В алгебре логики над высказываниями можно производить различные операции (подобно тому, как в алгебре чисел определены операции сложения, умножения, минус над действительными числами).
В алгебре высказываний рассматриваются в качестве основных три логические операции: отрицание, конъюнкция и дизъюнкция.
Операция логического отрицания (инверсия).
Инверсия (логическое отрицание) образуется из высказывания с помощью добавления частицы «НЕ» к сказуемому или использования оборота речи «неверно, что».
__
Обозначение инверсии: А, НЕ А, А, NOT A.. Инверсия высказывания истинна, когда высказывание ложно, и ложна, когда высказывание истинно.
Примеры 1) А ={ число 5 является делителем числа 30 } – истинное высказывание
А= {Неверно, что число 5 является делителем числа 30 }- ложно
В={число 57 делится на 4 } – ложно
В={Неверно, что число 57 делится на 4 } – истинно
“Неверно, что 2 2 = 5”
“Завтра мы не пойдем на улицу”
Таблица истинности (таблица возможных состояний) логического отрицания:
Операция логического умножения (конъюнкция)
Конъюнкция (логическое умножение) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «И».
Обозначается конъюнкция: А И В, АВ, АВ, А В, А AND B
Конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны, и ложно, когда хотя бы одно высказывание ложно.
Примеры:
А= {Учебник по информатике лежит на черном столе }
В={Черный стол находится в кабинете № 13 }
2) «Закончились лекции, и студенты пошли домой»
Таблица истинности:
| А | В | АВ |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Операция логического сложения (дизъюнкция)
Дизъюнкция (логическое сложение) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «ИЛИ».
Обозначение дизъюнкции: А ИЛИ В, А В, А В, А OR B.
Дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны, и истинна, когда хотя бы одно высказывание истинно.
Пример:
1) А={Иванов учится на “5”}
В={Иванов учится на “4”}
2) “В природе бывает, что солнце при дожде светит или прячется в тучах”
Таблица истинности:
| А | В | А В |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Приоритет: действия в скобках, , , \/.
Примеры
1) Даны 3 числа:
Р=2310 , В=238 , С=1А16
Переведите Р, B, C в двоичную систему счисления и выполните поразрядно логические операции (Р \/ В) С
Ответ дайте в десятичной системе счисления.
Решение Р=2310=101112
В=238=100112
С=1А16=110102
Р \/ В =10111
(Р \/ В) С=10010
100102=16+2=1810
Поразрядное отрицание восьмиразрядного двоичного числа, записанное в 10-й СС, равно 217. Определить исходное число в 10-й СС.
Решение:
А = 21710 = 110110012
А = 001001102 = 3810
Логические операции – инверсию, конъюнкцию и дизъюнкцию принято называть основными, потому что через них можно выразить любые другие логические операции. Например, операция импликации: А В может быть представлена как дизъюнкция НЕ А и В, т.е.:
_
А В = А В
Импликация
Импликация (логическое следование) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если..., то...».
Обозначается импликация: А В, А В. Импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное.
Импликация – тесно связываю (это связка).
«Если будет хорошая погода, то мы пойдем в лес».
После «Если» – условие, после «то» – заключение.
Таблица истинности:
| А | В | А В |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Эквивалентность
Эквивалентность (логическое равенство) образуется соединением двух высказываний в одно при помощи оборота речи « ... тогда и только тогда, когда...».
Эквиваленция – равнозначность.
Обозначение эквивалентности: А = В, А В, А В.
Эквивалентность двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны или ложны оба.
«Я куплю радиоприемник тогда и только тогда, когда получу премию».
Связка выражает взаимную обусловленность событий.
Таблица истинности:
| А | В | А В |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Эквивалентность может быть представлена в виде дизъюнкции двух высказываний:
_ _
А В = ( А В) (А В)
Квантор общности
«Все красные мухоморы ядовиты».
ВСЁ – кванторное слово.
Квантор существования
«Некоторые люди имеют высшее образование».
«Существуют люди с голубыми глазами».
НЕКОТОРЫЕ, СУЩЕСТВУЮТ – кванторные слова.
Строгая дизъюнкция (двойное ИЛИ)
«В этом году мы либо поедим к морю, либо будем жить на даче»
Связка ЛИБО …, ЛИБО…
Сложное высказывание истинно, если одно из двух простых истинно, но не оба сразу.
Таблица истинности:
|
А | В | А В |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
Образцы решения типовых заданий
Задание 1. Рассмотрим сложное высказывание: «Число 6 делится на 2, и число 6 делится на 3». Представить данное высказывание в виде логической формулы.
Решение.
Обозначим через А простое высказывание «число 6 делится на 2», а через В простое высказывание «число 6 делится на 3». Тогда соответствующая логическая формула имеет вид: А & В. Очевидно, ее значение — ИСТИНА.
Задание 2. Рассмотрим сложное высказывание: «Летом я поеду в деревню или в туристическую поездку». Представить данное высказывание в виде логической формулы.
Решение.
Обозначим через А простое высказывание «летом я поеду в деревню», а через В — простое высказывание «летом я поеду в туристическую поездку». Тогда логическая форма сложного высказывания имеет вид А v В.
Задание 3. Рассмотрим высказывание: «Неверно, что 4 делится на 3». Представить данное высказывание в виде логической формулы.
Решение.
Обозначим через А простое высказывание «4 делится на 3». Тогда логическая форма отрицания этого высказывания имеет вид — А.
Задание 4. Вычислить значение логической формулы:
не X и У или X и Z,
если логические переменные имеют следующие значения: Х-ЛОЖЬ, У=ИСТИНА, Z=ИСТИНА.
Решение. Отметим цифрами сверху порядок выполнения операций в выражении:
1 2 4 3
не X и У или X и Z.
Используя таблицу истинности, вычислим формулу по шагам:
не ЛОЖЬ = ИСТИНА;
2) ИСТИНА и ИСТИНА = ИСТИНА;
3)ЛОЖЬ и ИСТИНА = ЛОЖЬ;
4) ИСТИНА или ЛОЖЬ = ИСТИНА. Ответ: ИСТИНА.
Задание 5. Вычислить значение функции
F(a, b) = (a V b )& (а & b).
Выделим для этого промежуточные логические функции и заполним таблицу истинности для соответствующих наборов логических переменных (см. таблицу).
| а
| b
| a v b
| (a v b)
| b
| (а & b)
| F(a, b)
|
| 0
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 0
|
| 0
| 1
| 1
| 0
| 0
| 0
| 0
|
| 1
| 0
| 1
| 0
| 1
| 1
| 0
|
| 1
| 1
| 1
| 0
| 0
| 0
| 0
|
Из таблицы истинности видно, что при любых наборах логических переменных функция F(a, b) тождественно равна нулю.
Упражнения
Объясните, почему следующие предложения не являются высказываниями ?
Какого цвета этот дом ?
Число Х не превосходит 1.
4х + 3
Посмотрите в окно.
Пейте томатный сок !
Эта тема скучна.
Леонтьев – самый популярный певец.
Даны два высказывания:
А ={ число 7 - простое}
В ={число 8 – нечетное }
В чём заключаются высказывания:
а) А; б) В; в) А В; г) А В ?
Какие из высказываний а) – г) истинны ?
Определите, какие высказывания истинные, какие – ложные ?
А ={Река Днепр впадает в Черное море }
В ={45 – простое число}
С ={Вена – столица Австрии}
D ={0 – натуральное число}
Являются ли высказываниями следующие предложения:
Луна – спутник Земли.
Все ученики училища любят физику.
Принеси мне книгу !
Некоторые люди имеют голубые глаза.
Вы были в театре ?
Завтра я пойду на коток.
Мойте руки перед едой.
Если будет дождь, то мы поедем за грибами.
Завтра я либо сдам экзамен, либо останусь на второй год.
Существуют такие люди, которые не любят животных.
Если я поеду туда, то смогу ли вернуться ?
5. Укажите для следующих высказываний, сложные они или простые:
1) Если две прямые параллельны, то они пересекаются.
2) Идет дождь.
3) Все мышки серые, кошки тоже бывают серые.
4) На следующем уроке будет либо контрольная, либо свободный урок.
5) Завтра или сегодня брат приедет к нам в гости.
6) Треугольники с равными сторонами не равнобедренны.
7) 7+x x+c+0.1a
8) Число 3 больше числа 2
9) Завтра премьера в нашем театре.
10) Это число не простое.
11) Если смешать эти растворы, то получится токсичное
вещество.
6. Составьте несколько сложных высказываний из предложенных простых.
1) Завтра будет хорошая погода.
2) Мы хотим пойти за грибами.
3) Сергей приглашает нас на рыбалку.
4) Я видел Мишу в школе.
5) Он скоро окончит институт.
6) Завтра будет холодно.
7. Дано сложное высказывание:
“ Ученик прогулял урок и получил двойку”.
“ И “ конъюнкция.
Составить таблицу истинности:
| Прогулял урок | Получил двойку | Прогулял урок и получил двойку |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Контроль знаний
Предлагается два варианта самостоятельной работы.
Самостоятельная работа № 1
Вариант № 1
Определите, какие из следующих предложений являются высказываниями, а какие нет:
а) Математика – царица наук.
б) Ты знаешь теорию вероятности?
в) Выучи урок, заданный по алгебре.
г) Есть школьники, которые знают математику на “5”.
д) Все школьники любят математику.
Даны высказывания:
А = Ваш приезд необходим
В = Ваш приезд желателен
Запишите следующее сложное высказывание на языке алгебры логики:
Е = Ваш приезд не является ни необходимым, ни желательным.
Вариант № 2
Определите, какие из следующих предложений являются высказываниями, а какие нет:
а) Для каждого из нас учить второй язык легче, чем первый.
б) Какой иностранный язык ты знаешь?
в) Переводчик должен знать хотя бы два языка.
г) Учи русский язык..
д) Некоторые школьники предпочитают изучать китайский язык.
.Даны высказывания:
А = Вчера было пасмурно.
В = Сегодня ярко светит солнце.
Запишите следующее сложное высказывание на языке алгебры логики:
Е = Вчера было пасмурно, а сегодня светит солнце.
Самостоятельная работа № 2
Вариант № 1
Определите, истинны или ложны следующие высказывания:
Информация – это порядок выполнения алгоритма.
Человек познаёт окружающий мир с помощью органов чувств.
Компьютер является источником алгоритмов.
Алгоритм можно записать (представить) с помощью алгоритмического языка.
Процессор служит для ввода в компьютер информации.
Элементной базой ЭВМ третьего поколения являются интегральные схемы.
Составить сложные высказывания с помощью дизъюнкции (два высказывания) и конъюнкции (два высказывания). Определить истинность или ложность этих высказываний.
Вариант № 2
Определите, истинны или ложны следующие высказывания:
Информация – это знания и сведения.
Парта является средством хранения информации.
Блок-схема является языком общения с компьютером.
Цикл – это действия, которые выполняются при проверки условия.
Число 25 десятичной системы представляется в двоичной системе как 11001.
Операционная система является энергозависимой.
Составить сложные высказывания с помощью дизъюнкции (два высказывания) и конъюнкции (два высказывания). Определить истинность или ложность этих высказываний.
Вариант № 3
Определите, истинны или ложны следующие высказывания:
Объективность – свойство информации.
Один символ занимает 1 бит в памяти.
Устройство управления – одна из частей центрального процессора.
Электрическая схема позволяет записать алгоритм.
Результативность – одно из свойств алгоритмов.
К устройствам ввода информации в ЭВМ относится дисплей.
Составить сложные высказывания с помощью дизъюнкции (два высказывания) и конъюнкции (два высказывания). Определить истинность или ложность этих высказываний.
Вариант № 4
1. Определите, истинны или ложны следующие высказывания:
Достоверность – свойство алгоритма.
Вся информации в памяти ЭВМ кодируется в двоичной системе счисления.
Человек познаёт мир с помощью средств коммуникации.
Бит – минимальная единица информации.
Тактовая частота является характеристикой памяти ЭВМ.
Общение с исполнителем осуществляется с помощью символов и языка.
Составить сложные высказывания с помощью дизъюнкции (два высказывания) и конъюнкции (два высказывания). Определить истинность или ложность этих высказываний.
Вариант № 5
Определите, истинны или ложны следующие высказывания:
Алгоритм – последовательность действий, направленных на достижение цели.
Точность – одно из свойств информации.
Единицей измерения информации является байт.
Запись информации является процессом, происходящим в процессоре.
Компьютер обрабатывает числовую информацию.
1 Мегабайт информации составляет 256 байт.
Составить сложные высказывания с помощью дизъюнкции (два высказывания) и конъюнкции (два высказывания). Определить истинность или ложность этих высказываний.
Вариант № 6
1. Определите, истинны или ложны следующие высказывания:
Бит – это цифра 1 или 2.
Дискета является носителем информации.
Единицей измерения информации является точность.
Операционная система входит в базовое программное обеспечение.
Алгоритм должен быть понятен исполнителю.
Число 10110 двоичной системы представляется как число 25 в десятичной системе.
Составить сложные высказывания с помощью дизъюнкции (два высказывания) и конъюнкции (два высказывания). Определить истинность или ложность этих высказываний.
Дополнительные задания
Проверочная работа
Вариант № 1:
Определите, какие из следующих предложений являются высказываниями, а какие нет:
а) Математика – царица наук.
б) Ты знаешь теорию вероятности?
в) Выучи урок, заданный по алгебре.
г) Есть школьники, которые знают математику на “5”.
д) Все школьники любят математику.
Даны высказывания:
А = Ваш приезд необходим;.
В = Ваш приезд желателен.
Запишите следующее сложное высказывание на языке алгебры логики:
Е = Ваш приезд не является ни необходимым, ни желательным.
Докажите справедливость следующих тождеств (т. е. Если значения сложных высказываний совпадают на всех возможных наборах входящих в них переменных, то такие высказывания называются равносильными, тождественными, эквивалентными):
X(YZ) = (XY)(XZ)
ABA B = A
Определить, какие из следующих высказываний являются тождественно истинными:
AB C
A AB
(AB)((AC)(ABC))
Вариант № 2:
Определите, какие из следующих предложений являются высказываниями, а какие нет:
а) Для каждого из нас учить второй язык легче, чем первый.
б) Какой иностранный язык ты знаешь?
в) Переводчик должен знать хотя бы два языка.
г) Учи русский язык..
д) Некоторые школьники предпочитают изучать китайский язык.
Даны высказывания:
А = Вчера было пасмурно.
В = Сегодня ярко светит солнце.
Запишите следующее сложное высказывание на языке алгебры логики:
Е = Вчера было пасмурно, а сегодня светит солнце.
Докажите справедливость следующих тождеств (т. е. Если значения сложных высказываний совпадают на всех возможных наборах входящих в них переменных, то такие высказывания называются равносильными, тождественными, эквивалентными):
AA
BAB
(A(BC))((AB)(AC))
Докажите справедливость следующих тождеств:
X(YZ) = (XY)(XZ)
Не(XY) = XY
Тестовое задание
1. Какова формула логического высказывания
«Я поеду в Москву и, если встречу там друзей, то мы интересно проведём время»?
A /\ (B C)
(A /\ B) C \/ D
(A /\ B) (C /\ D)
A /\ B C
2. Какова формула логического высказывания
«Если вы были в Париже, то вы видели Лувр или видели Эйфелеву башню»?
A (C /\ D)
(A /\ B) C \/ D
(A /\ B) (C /\ D)
A (C \/ D)
3. Какова формула логического высказывания
«Без Вас хочу сказать Вам много,
При Вас я слушать Вас хочу»?
(
AB) /\ (AC)
(AB) \/ (CD)
(AB) /\ AC
A
B /\ (CD)
4. Какова формула логического высказывания
«Если вы знаете основы логики, то умеете читать логические схемы и строить таблицы истинности»?
(AB) \/ (AC)
AB \/ C
(AB) /\ AC
4) A(B /\ С)
Учебная литература
Семакин И.Г. Информатика. 10-й класс / И.Г.Семакин, Е.К.Хеннер – М,: БИНОМ. Лаборатория базовых знаний, 2004.
Семакин И.Г. Информатика. 11-й класс / И.Г.Семакин, Е.К.Хеннер – М,: БИНОМ. Лаборатория базовых знаний, 2004.
Угринович Н. Д. Информатика и информационные технологии, М., БИНОМ. Лаборатория базовых знаний, 2002.
Угринович Н.Д. Практикум по информатике и информационным технологиям, М, БИНОМ. Лаборатория базовых знаний, 2002.
Шауцукова Л.З. Информатика: Учеб.пособие для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Л.З.Шауцукова. – 2-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 2002.
Приложения
Приложение 1
Раздаточный материал для учащихся АЛГЕБРА ЛОГИКИ
«Logos» – древнегреческое слово, означает мысль, речь, слово, понятие, разум.
Формальная (классическая) логика: основоположник – древнегреческий философ Аристотель (384-322 г.г. до н.э.); категории - «понятие», «суждение», «умозаключение», законы логики, метод дедукции, понятие гипотезы. Используется в гуманитарных науках (криминалистика, философия, юриспруденция, психология).
Логика рассматривает и правильное мышление и неправильное (логические ошибки, софизмы, паралогизмы).
понятие - форма мышления, в которой отражаются существенные признаки предметов;
суждение (высказывание, утверждение) - форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах, их свойствах или отношениях между ними;
умозаключение - форма мышления, в которой посредством одного или нескольких суждений мы по определенным правилам вывода получаем суждение (высказывание) – заключение (вывод умозаключения).
Математическая логика: основоположник – немецкий философ и математик Г.В.Лейбниц (1646-1716); в логике появляются математические методы исследования; логика обретает символьный язык, конкретность законов. Раздел её – алгебра логики (булева алгебра) – назван в честь английского математика XIX в. Джорджа Буля (1815-1864). Алгебра логики – раздел математики, нашла применение для решения сложных математических задач, при написании программ и алгоритмов, разработке компьютеров, электронных устройств, автоматических систем, в робототехнике и т.д.
Формальная логика Основной элемент – высказывание – повествовательное предложение; истинно или ложно. Высказывания – простые и сложные.
| Логические связки и кванторы | Название логических связок и кванторов | Математическое обозначение |
| … и … | Конъюнкция | ; ; |
| … или … | Дизъюнкция | |
| … либо … либо … | Строгая дизъюнкция | |
| Если … , то … | Импликация | ; |
| Неверно, что … ; не | Отрицание | ; ; |
| Тогда и только тогда, когда … | Эквиваленция | ; ; |
| Все; всякий; каждый | Квантор общности | |
| Некоторые … ; существуют … | Квантор существования | |
30
Получите свидетельство
Вход
Алгебра логики (0.17 MB)
0
1041
71
Нравится
0
