Учебное пособие по информатике Логические оcновы компьютера

ПОНЯТИЕ  О  ЛОГИКЕ  КАК  НАУКЕ.

ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ЛОГИКИ.

       Умение рассуждать, логически мыслить, давать ответы на поставленные вопросы играет очень важную роль в жизни человека.

       Логика – это наука правильно рассуждать, наука о формах и законах

                        человеческого мышления.

       Термин «логика» происходит от древнегреческого logos, означающего «слово, мысль, понятие, рассуждение, закон».

        Древние философы пытались найти ответ на вопрос, как и по каким законам мыслит человек, какими путями мышления можно прийти к истине в рассуждениях о событиях и явлениях окружающего мира. Основоположником логики считают Аристотеля, древнегреческого ученого, жившего в 384-322 г.г. до н. э. В логике Аристотеля сформированы логические категории «понятие», «суждение», «умозаключение», законы логики, метод дедукции, понятие гипотезы. Античную логику принято называть классической (формальной) логикой.

          В дальнейшем логика в своем развитии перешла от формальной к математической логике, появление которой связывают с именем немецкого ученого и философа Г.В. Лейбница (1646 – 1716). Словесная форма записи рассуждений стала тормозить развитие логики. В логике появляются математические методы исследования. Логика обретает символьный язык, конкретность законов распространяется за рамки гуманитарных наук. Но формальная логика не утратила своего значения со временем и используется в гуманитарных науках, таких, как криминалистика,  философия, юриспруденция, психология.

           В период 1815 – 1864 г.г. благодаря трудам английского математика Дж. Буля появился раздел математической логики, получивший название алгебры  логики, или булевой алгебры.

           Алгебра логики – это раздел математики, нашедший большое практическое применение в технической области знаний. Она используется для решения сложных математических задач. при написании программ и алгоритмов, разработке компьютеров, электронных устройств, автоматических систем, в робототехнике и т.д.

ЭЛЕМЕНТЫ  АЛГЕБРЫ  ЛОГИКИ.

ВЫСКАЗЫВАНИЯ  И  ОПЕРАЦИИ  НАД  НИМИ.

        Высказывание – это любое повествовательное предложение какого -

                                     либо языка (утверждение), содержание которого

                                     можно определить как истинное или ложное.

Примеры высказываний:

1) город Вашингтон – столица США (истинное)

2) число 2 является делителем числа 7 (ложное)

3) two plus six is eight (истинное)

Рассмотрим три основные логические операции над высказываниями.

(1 – истина,  2 - ложь)                 

I. Коньюнкция (логическое умножение):

     - соответствует союзу  «и»;

     - обозначается символом   &  или Ù.

II.Дизъюнкция (логическое сложение):

          - соответствует союзу «или»;

          - обозначается символом Ú.

Ш. Инверсия  (отрицание):

         - соответствует частице  «не»;

         - обозначается символом  Ø или

           надчеркиванием .

   Всего в алгебре логики 16 операций, но любая логическая операция может быть выражена через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание.

Тренировка

1.Какие из перечисленных ниже выражений являются высказываниями и каково их значение истинности:

«Сижу и смотрю»

«РASCAL - язык программирования»

 «Нуль – натуральное число»

« 3 + 5  = 2 × 4 »

«Верно ли, что p = 3,1415926 … »

«Вы любите изучать информатику ?»

« Ура! »

2.Даны  2 высказывания :

      А = {Число 5 - простое}

      В =  {Число 4 - нечетное}

Очевидно, что  А = 1,  В = 0. В чем заключаются высказывания :

а) ¬ А,      б) ¬ В,      в) А & B,     г) А Ú В.

3. По мишени произведено  три выстрела.

    Рассмотрим  высказывания:

         Р_k =  { мишень поражена k – ым выстрелом},

         k = 1, 2,  3.

Что означают следующие высказывания :

      а) Р₁ Ú Р₂Ú  Р₃ ;

      б) Р₁ & Р₂ & Р₃ ;

      в)  ¬ (Р₁ Ú Р₂Ú  Р₃ ).

4. Найдите значения выражений :

      а) (1 Ú 1) Ú (1 Ú 0) ;

      б) ((1 Ú 0) & (1 & 1)) & (0 Ú 1) ;

      в)  ((0 & 0) Ú 0) & (1 Ú 1).

ЛОГИЧЕСКИЕ  ФУНКЦИИ.

ПОСТРОЕНИЕ  ТАБЛИЦ  ИСТИННОСТИ.

         Введенные нами три логические операции дают возможность из простых высказываний строить сложные. Всякое сложное высказывание принимает значение 1 («истина»)  или  0 («ложь») в зависимости от значения простых высказываний, из которых оно построено.

          Таблицу, показывающую, какие значения принимает сложное высказывание при всех сочетаниях (наборах) значений входящих в него простых высказываний, называют таблицей истинности.

Алгоритм построения таблицы истинности:

1. посчитать количество переменных  n  в формуле;
2. определить число строк в таблице  m = 2ⁿ;
3. подсчитать количество логических операций в формуле;
4. установить последовательность выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов;
5. определить количество столбцов в таблице : число переменных + число операций ;
6. выписать наборы значений входных переменных ( их будет 2ⁿ);
7. провести заполнение таблицы по строкам.

Пример 1:

Для функции  построить таблицу истинности.