Прямоугольник

Давайте вспомним, что параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Дадим определение прямоугольнику. Итак, прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Так как прямоугольник является параллелограммом, то он обладает всеми его свойствами.

У прямоугольника противоположные стороны равны.

Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.

Кроме этих свойств рассмотрим ещё одно свойство – свойство диагоналей прямоугольника.

Теорема. Свойство диагоналей прямоугольника. Диагонали прямоугольника равны.

Доказательство.

Рассмотрим прямоугольные  и .

Катет  – общий,  как противоположные стороны прямоугольника.

 по двум катетам.

Следовательно, .

Что и требовалось доказать.

Теорема. Признак прямоугольника. Если у параллелограмма диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.

Доказательство.

Пусть  – параллелограмм,

.

Рассмотрим  и .

Сторона  – общая,  как противоположные стороны параллелограмма,

 по условию.

 по третьему признаку. Следовательно, .

, .

Получаем .

.

.

Следовательно,  – прямоугольник.

Теорема доказана.

Давайте решим задачу.

Задача. В прямоугольнике  сторона  см, а. Найдите диагональ .

Решение.

 – прямоугольный.

.

 (см).

,следовательно,  см.

Ответ:  см.

Задача. В прямоугольнике  диагонали пересекаются в точке . . Найдите .

Решение.

,

следовательно,  – равнобедренный.

.

,

,

,

,

.

Ответ: .

Задача. Найдите периметр прямоугольника , если биссектриса  делит сторону  на отрезки  см и  см.

Решение.

 – прямоугольный.

.

,.

 – равнобедренный,.

Так как  см,  то  см.

 см.  (см),

 см.

,

 (см).

Ответ:  см.