Трапеция

Сегодня на уроке мы познакомимся с геометрической фигурой, которую называют трапецией.

Итак, трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями.  А не параллельные  – боковыми сторонами.

Перпендикуляр, проведённый из любой точки одного из оснований на другое основание или его продолжение, называется высотой трапеции.

Трапеция, у которой есть прямой угол, называется прямоугольной. Следует отметить, что, так как основания AB и CD  параллельны, прямая BC – секущая, а сумма односторонних углов равна 180º, то и угол BCD также равен 90º.

Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной.

Далее мы рассмотрим некоторые свойства и признаки равнобедренной трапеции.

Теорема. Свойство углов равнобедренной трапеции. Углы при основании равнобедренной трапеции равны.

Доказательство.

Рассмотрим прямоугольные  и .

, так как  – равнобедр. трапеция,

.

по катету и гипотенузе.

Следовательно, .

Теорема доказана.

Теорема. Свойство диагоналей равнобедренной трапеции. Диагонали равнобедренной трапеции равны.

Доказательство.

Рассмотрим  и .

, так как  – равнобедр. трапеция,сторона  – общая,

 как углы при основании равнобедр. трапеции.

 по первому признаку.

Следовательно, .

Теорема доказана.

Теорема. Признак равнобедренной трапеции. Если у трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.

Доказательство.

Рассмотрим прямоугольные  и .

 по условию.

.

по катету и противолежащемуострому углу.

Следовательно, .

Тогда трапеция  – равнобедренная.

Теорема доказана.

Теорема. Признак равнобедренной трапеции. Если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.

Доказательство.

Рассмотрим прямоугольные  и .

 по условию,.

по катету и гипотенузе.

Следовательно, .

Рассмотрим  и .

 по условию,сторона  – общая,.

по первому признаку.

Следовательно, .

Тогда трапеция  – равнобедренная.

Теорема доказана.

А теперь решим несколько задач.

Задача.  – трапеция, у которой . . Найдите градусную меру .

Решение.

Так как , то трапеция  – равнобедренная.

как углы при основании равнобедр. трапеции.

,  – внутр. односторонние при  и секущей , то есть

,

,

,

.

Ответ: .

Задача. В прямоугольной трапеции  проведена диагональ . , . Найдите градусную меру .

Решение.

как накр. лежащие при и секущей ,то есть .

,следовательно,  – равнобедренный, тогда .

Для : ,

,

,

.

Ответ: .