Признаки параллелограмма

На прошлом уроке мы с вами говорили, что параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Также мы рассмотрели некоторые свойства параллелограмма. Вспомним их.

Свойство 1. Сумма углов при соседних вершинах параллелограмма равна .

Свойство 2. Диагональ разбивает параллелограмм на два равных треугольника.

Свойство 3. У параллелограмма противоположные стороны равны.

Свойство 4. У параллелограмма противоположные углы равны.

Свойство 5. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

На этом уроке мы рассмотрим три признака параллелограмма. Отметим, что свойство – это то, чем обладает данная фигура. А признак – это то, чем фигура отличается от других, то есть черты, по которым мы можем отличить данную фигуру от других.

Теорема. 1-й признак параллелограмма. Если у четырёхугольника две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Докажем это.

Рассмотрим  и .

,.

Сторона  – общая, по условию,как накр. лежащие при и секущей .

по первому признаку. Следовательно, . , – накр. лежащие при  и  и секущей .

Так как , то .

, ,следовательно,  – параллелограмм.

Теорема доказана.

Теорема. 2-й признак. Если в четырёхугольнике противоположные стороны равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Доказательство.

 Пусть в четырёхугольнике ABCD сторона,.

 Проведём диагональ AC, которая разделяет четырёхугольник на два треугольника ABC и CDA.

Рассмотрим  и .

Сторона  – общая, по условию, по условию.

по третьему признаку.

Следовательно, .

Так как , – накр. лежащие при  и  и секущей ,то .

,,тогда по 1-му признаку  – параллелограмм.

Теорема доказана.

Теорема. 3-й признак. Если у четырёхугольника диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Доказательство.

Пусть в четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам.

Рассмотрим  и .

 по условию, по условию, как вертикальные.

по первому признаку.

Следовательно, ,.Так как , – накр. лежащие при  и  и секущей ,то .

,,тогда по 1-му признаку  – параллелограмм.

Теорема доказана.

Теперь решим несколько задач.

Задача. Докажите, что четырёхугольник  является параллелограммом, если  – диагональ, а  и .

Доказательство.

, – накр. лежащие при  и и секущей .

Так как , то .

, – накр. лежащие при  и и секущей .

Так как , то ., ,следовательно,  – параллелограмм.

Решим эту задачу ещё одним способом.

Рассмотрим  и .Сторона  – общая, ,по условию.

по второму признаку, следовательно, ,.

Тогда – параллелограмм по 2-му признаку.

Что и требовалось доказать.

Задача. Отрезки  и  – диагонали четырёхугольника , которые пересекаются в точке . , а . Докажите, что четырёхугольник  – параллелограмм.

Доказательство.

Рассмотрим  и .

 по условию,

 по условию,

как вертикальные.

по второму признаку.

Следовательно, .

Тогда  – параллелограмм по 3-му признаку.

Что и требовалось доказать.