Параллелограмм и его свойства

На предыдущем уроке мы говорили о четырёхугольнике. Напомним, что четырёхугольником называется геометрическая фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков. Причём никакие три точки не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не пересекаются.

На этом уроке мы познакомимся с новой геометрической фигурой, которую называют параллелограммом.

Сформулируем определение: параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Любой параллелограмм является выпуклым четырёхугольником.

Давайте посмотрим на следующие четырёхугольники.

Первый является параллелограммом, так как у него противоположные стороны попарно параллельны. Следующий четырёхугольник также является параллелограммом, ведь у него противоположные стороны попарно параллельны. А вот четырёхугольник в пункте в не является параллелограммом, так как у него две стороны параллельны, а две другие – нет. У четырёхугольника в пункте г противоположные стороны попарно параллельны, а значит, он – параллелограмм. И последний четырёхугольник не является параллелограммом, так как у него стороны не параллельны.

Поговорим о свойствах параллелограмма.

Свойство 1. Сумма углов при соседних вершинах параллелограмма равна .

Доказательство.

Рассмотрим параллелограмм ABCD.

По определению параллелограмма стороны AB и CD параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Прямая AD, которая проходит через две соседние вершины, является секущей. А тогда углы BAD и ADC – внутренние односторонние.

Нам известно, что если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна ста восьмидесяти градусам. Следовательно, .

А так как эти углы являются углами при соседних вершинах параллелограмма, то свойство доказано.

Свойство 2. Диагональ разбивает параллелограмм на два равных треугольника.

Доказательство.

Рассмотрим  и .

Сторона  – общая,как накр. лежащие при  и секущей ,

как накр. лежащие при и секущей .

по второму признаку.

Что и требовалось доказать.

Свойство 3. У параллелограмма противоположные стороны равны.

Доказательство.

Рассмотрим параллелограмм ABCD.

Диагональ AC разделяет его на два треугольника: ABC и CDA. Доказывая предыдущее свойство, мы выяснили, что эти треугольники равны, то есть у них соответствующие стороны равны. И сторона AB = DC, а сторона AD = BC.

Свойство доказано.

Свойство 4. У параллелограмма противоположные углы равны.

Доказательство. Рассмотрим параллелограмм ABCD. Проведём диагональ AC.

как накр. лежащие при и секущей ,как накр. лежащие при и секущей ,

,

,

следовательно, .

Что и требовалось доказать.

Также равенство противоположных углов параллелограмма следует из равенства треугольников ABC и CDA, которое мы доказали в предыдущем свойстве.

Свойство 5. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство. Рассмотрим параллелограмм ABCD. Пусть точка О – точка пересечения диагоналей AC и BD.

Рассмотрим  и .

как противоположные стороны,как накр. лежащие при

и секущей ,как накр. лежащие при и секущей .

по второму признаку.

Следовательно, ,.

Что и требовалось доказать.

Теперь для закрепления материала решим несколько задач.

Задача. Докажите, что биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

Доказательство. Пусть ABCD – некоторый параллелограмм. Проведём, например, из вершины А биссектрису АМ.

,так как  – биссектриса.

как накр. лежащие при и секущей .

Следовательно, .

Тогда  – равнобедренный.

Задача. У параллелограмма  диагональ  равна 16 см, диагональ  – 10 см, а сторона  – 8 см. Найдите периметр треугольника .

Решение.

Рассмотрим .

 (см), (см), (см).

 (см).

Ответ: 21 см.