Вычитание рациональных чисел

Представим себе такую историю…

– Паша, что ты читаешь? – спросил у друга Саша.

– Я читаю энциклопедию, которую мне подарили родители, – ответил Паша.

– И что нового ты узнал? – снова задал вопрос Саша.

– В ней очень много интересной и полезной информации. Вот, например, я узнал, что Эверест – это самая высокая гора в мире. Она возвышается на 8848,43 метра над уровнем моря. А самое глубокое место на Земле – Марианская впадина. Она находится в Тихом океане, и её глубина равна 11 034 метрам ниже уровня моря, – начал рассказывать Паша.

– Интересно, если бы Марианская впадина располагалась под горой Эверест, то какое расстояние пришлось бы пролететь камню с вершины горы до дна впадины? – задумался Саша.

– Давай представим, что над Марианской впадиной расположен Эверест. Отметим высоту нашей горы и глубину впадины, – начал рассуждать Паша.

– А разве перед 11 034 не надо ставить знак «»? – обратил внимание друга Саша. – Ведь Марианская впадина находится ниже уровня моря.

– Точно! Ты прав, – сказал Паша. – Тогда, чтобы найти расстояние, которое пришлось бы лететь камню, мы должны от 8848,43 отнять .

– А как из положительного числа мы вычтем отрицательное число? – спросил Саша.

– Я не знаю, – немного растерянно ответил Паша и тут же предложил, – давай попросим Мудряша нам помочь.

– Ребята, прежде чем я отвечу на ваш вопрос, давайте немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Мудряш.

– Теперь сверимся! – сказал Мудряш. – Посмотрите, что у вас должно было получиться!

– А сейчас вернёмся к вашему вопросу, – начал Мудряш. – Ребята, у вас возник вопрос, как найти разность положительного и отрицательного чисел. Мы с вами знаем, что в случае с натуральными числами, если нам известны сумма и одно из слагаемых, неизвестное слагаемое находят вычитанием из суммы известного слагаемого. Это будет справедливо и для рациональных чисел.

Запомните! Разностью рациональных чисел a и b называют такое рациональное число x, которое в сумме с числом b даёт число a. То есть , если .

Обозначим . Тогда воспользовавшись только что сформулированным правилом, можем записать, что . Теперь, чтобы найти неизвестное слагаемое , мы с вами прибавим к левой и правой части нашего равенства , то есть число, противоположное известному слагаемому.

Сумма противоположных чисел в левой части выражения равна 0, тогда получаем, что .

Обратите внимание, что в равенстве  у нас  равен разности положительного и отрицательного чисел. В равенстве  у нас  равен сумме уменьшаемого и числа, противоположного вычитаемому. А мы с вами умеем складывать рациональные числа.

Таким образом, вычитание рациональных чисел мы заменили сложением.

Сформулируем правило. Запомните! Чтобы найти разность двух чисел, можно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому. То есть для любых рациональных чисел a и b справедливо равенство: .

– Давайте решим несколько примеров: ; ; ; – предложил мальчишкам Мудряш. – Для этого воспользуемся уже известным нам равенством: .

Итак, в первом примере  мы к уменьшаемому, то есть к , прибавим число, противоположное вычитаемому, то есть . Вычислим сумму  и получим 18.

Во втором примере  мы к  прибавим число, противоположное , то есть . Теперь найдём сумму чисел с разными знаками: . , а значит, сумма будет отрицательной. Запишем разность большего и меньшего модулей со знаком «»: . Выполним вычисления и получим .

И в третьем примере  мы разность заменим суммой: . Чтобы вычислить эту сумму, запишем сумму модулей слагаемых со знаком «»: . Выполним сложение в скобках и получим .

– Получается, что теперь мы можем из меньшего числа вычесть большее, – заметил Саша.

– Верно! – сказал Мудряш. – Это стало возможным, так как мы с вами уже с вами знаем отрицательные числа. И обратите внимание, что в первом примере мы вычитали из большего числа меньшее и получили положительную разность. А во втором и третьем примерах мы вычитали из меньшего числа большее и получили отрицательные разности.

Запомните! Если разность  отрицательна, то ; если разность  положительна, то .

Ребята, теперь мы можем любое выражение, которое содержит действия сложения и вычитания, заменить на выражение, содержащее только действие сложения. Например, выражение  можем заменить на выражение .

– Давайте для закрепления нового материала выполним несколько заданий, – предложил Мудряш.

Задание первое: Выполните вычитание:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

Решение: Чтобы решить данные примеры, воспользуемся равенством: .

Первый пример: . Заменим вычитание сложением. Для этого к  прибавим число, противоположное , то есть . Выполним сложение  и получим .

Второй пример:. Также заменим вычитание сложением. Прибавим к  число, противоположное , то есть . Сумма  будет отрицательной, так как . Запишем разность модулей со знаком «»: . Выполним вычисления и получим .

В третьем примере  мы к  прибавим число, противоположное , то есть . Получили сумму противоположных чисел: . Она равна 0.

В следующем примере  снова заменим вычитание сложением. Прибавим к  число, противоположное , то есть . Сумма  равна .

Ещё один пример:.  Заменим разность дробей суммой. К  прибавим дробь, противоположную , то есть . Запишем сумму модулей этих слагаемых  и  со знаком «»: . Дроби в скобках приведём к общему знаменателю – 9. Дополнительным множителем к первой дроби будет 1, ко второй дроби – 3. Умножим дроби на их дополнительные множители: . Вычислим сумму в скобках и в результате получим .

И последний пример:. Прибавим к  число, противоположное , то есть . Найдём сумму . Сложим целые и дробные части смешанных чисел: . Сумма 5 и 1 равна 6. Чтобы найти сумму дробей , приведём их к общему знаменателю – 14. Дополнительным множителем к первой дроби будет 7, ко второй дроби – 2. Умножим дроби на их дополнительные множители и получим . Сложим дроби с одинаковыми знаменателями и получим . Теперь прибавим  к 6. В результате имеем .

Второе задание: Решите уравнения:

а) ; б) ; в) ; г) .

Решение: в первом уравнении нам неизвестно слагаемое x. Мы знаем, чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое. Тогда можем записать, что . Заменим вычитание в правой части уравнения сложением, прибавив к 5 число, противоположное 11, то есть . Сумма  будет у нас отрицательной, так как . Запишем разность модулей со знаком «»: . Выполнив вычисления, получим, что .

Во втором уравнении  нам неизвестно вычитаемое. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность. Тогда запишем: . Заменим разность суммой, прибавив к  число, противоположное , то есть . Сумма  будет отрицательной, так как . Запишем разность модулей со знаком «»: . Выполним вычисления и в результате получим, что .

В следующем уравнении  также неизвестно вычитаемое. Тогда . Заменим разность суммой уменьшаемого и числа, противоположного вычитаемому, то есть . Теперь найдём сумму . Для этого запишем сумму модулей слагаемых со знаком «»: . Выполним вычисления и получим, что .

И последнее уравнение . Здесь нам неизвестно уменьшаемое . Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое. Тогда получаем, что . Полученная сумма будет положительной, так как . Вычтем из большего модуля меньший, то есть . В результате получим, что .