Свойства сложения рациональных чисел

Представим себе такую историю…

– Привет, Саша! Над чем это ты задумался? – спросил у друга Паша.

– Вчера из вазочки я взял 5 конфет, а сегодня мама положила в неё 9 конфет, – начал рассказывать Саша. – А если бы сначала мама положила конфеты в вазочку, а потом я взял их оттуда, то, может, конфет в вазочке осталось бы больше?

– Саша, так ведь нет разницы, в каком порядке забирать и добавлять конфеты, – сказал Паша. – Вчера ты взял 5 конфет, то есть в вазочке их стало на 5 меньше. Запишем это так: . Сегодня мама положила 9 конфет, а значит, в вазочке стало на 9 конфет больше. Прибавим 9 к . Выполним сложение и получим 4. То есть в вазочке стало на 4 конфеты больше.

Если бы сначала мама положила 9 конфет, а потом бы ты взял 5, то это записали бы так: . И, выполнив сложение, тоже получили бы 4. То есть и в этом случае в вазочке стало бы на 4 конфеты больше.

– Точно! – удивился Саша. – А как ты думаешь, со всеми числами так получается?

– А давай мы спросим у Мудряша, – предложил Паша.

– Ребята, прежде чем я отвечу на ваш вопрос, давайте немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Мудряш.

– Теперь сверимся! – сказал Мудряш. – Посмотрите, что у вас должно было получиться!

– А сейчас вернёмся к вашему вопросу, – начал Мудряш. – Ребята, вам уже известны переместительное и сочетательное свойства сложения для положительных чисел. Сейчас на примере вы увидели, что сумма  и 9 равна 4 и сумма 9 и  равна 4. То есть поменяли слагаемые местами, а результат получили один и тот же. Получается, что переместительный закон сложения справедлив и для рациональных чисел.

Убедимся в этом ещё раз. Итак, . И . То есть .

 и . То есть .

Тогда можно сказать, что для рациональных чисел выполняется переместительное свойство сложения: .

– Наверное, и сочетательное свойство сложения выполняется для рациональных чисел? – спросили мальчишки.

– Давайте проверим, – сказал Мудряш. – Для этого вычислим  и . В первом примере найдём сначала сумму в скобках: . Она равна 13. Прибавим 7 к 13 и получим 20. Во втором примере найдём сумму в скобках: . Она равна 41. Прибавим 41 к  и тоже получим 20. То есть изменение расстановки скобок на сумму не повлияло.

Убедимся в этом ещё раз. В примере  сумма отрицательных дробей в скобках равна . Прибавим 1 к  и получим 0.

Во втором примере  сумма в скобках равна . Тогда . Снова видим, что изменение расстановки скобок на результат сложения не повлияло.

А значит, для рациональных чисел верно также и сочетательное свойство сложения: .

Запомните! Для любых рациональных чисел a, b и c справедливы равенства:  – переместительное свойство сложения;

 – сочетательное свойство сложения.

Рассмотренные свойства позволяют переставлять слагаемые местами, объединять их в группы. А это очень часто помогает упростить вычисления. Ребята, давайте мы убедимся в этом, выполнив несколько заданий.

Задание первое: вычислите, используя свойства сложения:

а) ; б) ; в) ; г) .

Решение: Итак, первый пример:. Для удобства вычисления воспользуемся сочетательным свойством сложения  и запишем наш пример следующим образом: . Сразу видим, что сумма в скобках равна 0, так как сумма двух противоположных чисел равна 0. Тогда получаем: .

Второй пример: . Обратите внимание, что первое и третье слагаемые отличаются только знаками. Давайте сгруппируем их и получим: . Сумма противоположных чисел в скобках равна 0. Тогда получаем: .

Третий пример: . Видим, что у первого и третьего слагаемых дробные части имеют одинаковые знаменатели. Давайте сгруппируем эти слагаемые: . Выполним сложение смешанных чисел в скобках. Сложим их целые и дробные части: . Сократим дробь  на 4. В результате получим . Теперь вычислим . Сумма у нас будет положительной, так как . Отнимем от большего модуля меньший модуль:

И четвёртый пример: . Давайте с помощью скобок объединим первое и третье слагаемые, второе и четвёртое слагаемые: . В первых скобках у нас записана сумма противоположных чисел. Она равна 0. Чтобы найти сумму отрицательных чисел во вторых скобках, мы найдём сумму модулей этих чисел и перед ней поставим знак «»: .

.

Второе задание: выбрав удобный порядок вычислений, найдите значение выражения .

Решение: в данном выражении для удобства вычислений мы сгруппируем первое и третье слагаемые, второе и четвёртое слагаемые: .

Найдём сумму в первых скобках: . Так как , то сумма этих дробей будет положительной. Вычтем из большего модуля меньший: .

Во вторых скобках у нас также записана сумма двух чисел с разными знаками: . Модуль положительного слагаемого больше модуля отрицательного слагаемого: . Вычтем из большего модуля меньший: . Теперь сложим  и  и получим .

Таким образом мы нашли значение выражения, используя переместительное и сочетательное свойства сложения.

Выполним ещё одно задание: найдите значение выражения , если ; .

Решение: прежде чем подставить значения  и  в наше выражение, мы его упростим. Сгруппируем первое и шестое слагаемые, так как у них одинаковые дробные части. Затем сгруппируем второе и пятое слагаемые, так как их дробные части в сумме дадут нам 1. Далее прибавим  и .

В первых скобках у нас записана сумма чисел с разными знаками. . А значит, перед разностью этих модулей поставим знак «»: . Выполним вычитание в скобках и получим .

Во вторых скобках записана сумма двух отрицательных чисел. Запишем сумму модулей этих слагаемых со знаком «»: . Выполним вычисления и получим .

Запишем полученные значения в наше выражение: .

Сложим  и . Для этого запишем сумму их модулей со знаком «»: . Найдём сумму в скобках. Тогда выражение принимает вид: .

Теперь мы подставим значения  и : . Для удобства вычисления сгруппируем  и : . Найдём сумму в скобках. Она будет равна сумме модулей этих слагаемых со знаком «»: . Выполним вычисления в скобках и получим . Теперь нам осталось найти сумму отрицательного и положительного числа: . Очевидно, что модуль отрицательного числа у нас больше модуля положительного числа. Запишем разность модулей со знаком «»: . Выполним вычисления и в результате получим .