Умножение рациональных чисел

Представим себе такую историю…

– Саша, ты меня звал? – спросил у друга Паша.

– Да, звал. Помоги мне, пожалуйста, разгадать кроссворд. Если мы его разгадаем, то узнаем тему следующего урока математики, – рассказал Саша.

– Хорошо. Давай разгадаем, – согласился Паша.

– Расстояние от начала отсчёта до точки, изображающей данное число на координатной прямой, – зачитал первый вопрос Саша.

– Это расстояние называют модулем, – уверенно сказал Паша.

– Точно! Подходит, – записал слово Саша и продолжил, – 60 секунд, слово из 6 букв.

– Наверное, минута, – предположил Паша.

– Подходит, – обрадовался Саша. – Следующее слово – знак действия. 5 букв. Действие сложения обозначают знаком «плюс». Это слово из 4 букв, а значит, не подходит нам. Действие вычитания обозначают знаком «минус». Это слово из 5 букв. Запишем его.

Читаю дальше: отрезок, соединяющий любые две точки окружности. Может, это радиус?

– Посмотри внимательнее. Это слово из 5 букв. А в слове «радиус» 6 букв.

– Паша, такой отрезок же называют хордой, – радостно сказал Саша и начал читать следующий вопрос, – действие со знаком «». Это действие сложения. Мы сегодня уже вспоминали о нём.

– Верно, – сказал Паша. – Читай дальше.

– Наименьшая единица времени, – продолжил Саша.

– Секунда, – уверенно ответил Паша. – Подходит?

– Подходит, – ответил Саша. – Следующий вопрос. Число, показывающее положение точки на координатной прямой.

– А сколько букв? – cпросил Паша.

– 10 букв, – ответил Саша и сразу же догадался, – так это же координата.

– Читай следующий вопрос, – сказал Паша.

– Сумма длин всех сторон. 8 букв, – зачитал Саша.

– Это периметр, – не задумываясь ответил Паша.

– И осталось разгадать последнее слово, – сказал Саша. – Частное двух чисел, отличных от нуля.

– Это отношение, – сразу догадался Паша.

– Кроссворд разгадан, – обрадовался Саша. – И у нас получилось слово «умножение».

– На прошлых уроках мы научились складывать и вычитать рациональные числа, а значит, на следующем уроке будем учиться умножать рациональные числа, – предположил Паша.

– А давай попросим Мудряша рассказать нам об умножении рациональных чисел, – предложил Саша.

– Давай, – согласился с другом Паша.

– Ребята, прежде чем я расскажу вам об умножении рациональных чисел, давайте немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Мудряш.

– Теперь сверимся! – сказал Мудряш. – Посмотрите, что у вас должно было получиться!

– А сейчас вернёмся к вашему вопросу, – начал Мудряш. – Ребята, вы знаете, что умножением называют действие нахождения суммы одинаковых слагаемых. Например,  означает то, что надо найти сумму 4 слагаемых, каждое из которых равно 5. Это равняется 20.

Таким образом, мы произведение  можем записать в виде суммы 4 слагаемых, каждое из которых равно . А это равняется .

– А как тогда записать произведение ? – спросили у Мудряша мальчишки. – Мы же не можем найти сумму  слагаемых.

– Хороший вопрос! – похвалил ребят Мудряш. – Мы с вами знаем, что для положительных чисел выполняется переместительное свойство умножения.

– То есть , – продолжил Саша.

– Верно! – сказал Мудряш. – Переместительное свойство выполняется и для рациональных чисел.

– Это значит, что ? – применил переместительный закон умножения Паша.

– Всё правильно, – ответил Мудряш. – При этом обратите внимание, что полученные произведения  и  – противоположные числа, а значит, произведение  противоположно произведению . Произведение  противоположно произведению . То есть можем записать, что ; .

Посмотрим на эти равенства и заметим, что произведение чисел с разными знаками равно произведению модулей этих чисел со знаком «».

При этом обратите внимание, если в произведении отрицательный множитель записан первым, то его не обязательно брать в скобки. Если же отрицательный множитель записан не первым, то брать его в скобки надо обязательно.

Запомните! Чтобы умножить два числа с разными знаками, надо умножить их модули и перед полученным произведением поставить знак «».

– А можно ли умножить два отрицательных числа? – спросили у Мудряша мальчишки.

– Конечно, можно! – ответил Мудряш. – Давайте найдём произведение ; ; ); . Первое произведение равно 12. Второе равно . Третье – также . Заметим, что при изменении знака одного из множителей в произведении  знак произведения изменился. А если мы изменим знак у каждого из множителей произведения , то получается, что знак произведения меняется дважды и в результате остаётся прежним, то есть . Произведение модулей  и  также даёт .

Поэтому можем сформулировать правило.

Запомните! Чтобы умножить два отрицательных числа, надо умножить их модули.

– Давайте с вами решим несколько примеров. Первый пример .

– Здесь нам надо найти произведение двух чисел с разными знаками, – подсказал Мудряшу Саша. – Для этого мы должны умножить их модули и перед произведением поставить знак «»: . И у нас получится .

– Верно! – сказал Мудряш. – Второй пример.

– Нам надо найти произведение двух отрицательных чисел. Для этого мы просто перемножим модули множителей: . И получим , – решили пример мальчики.

– В третьем примере  запишем произведение модулей множителей со знаком «», так как находим произведение двух чисел с разными знаками: , – начал Мудряш.

– И, выполнив вычисления, получим , – помогли ему мальчишки.

– Молодцы! – похвалил Мудряш Сашу и Пашу. – Следующий пример: .

 – Это равно 0, – уверенно сказали ребята, – ведь умножение на 0 всегда даёт 0.

– Совершенно верно! – сказал Мудряш. – В следующем примере нам надо  умножить на .

– Раньше при умножении на 1 мы всегда получали то же самое число, – сказал Саша.

– Верно! – сказал Мудряш. – Запишем произведение модулей множителей со знаком «»: . И, выполнив вычисления, получим . И последний пример: . Произведение этих отрицательных дробей будет равно произведению их модулей, то есть нам надо умножить  на .

– Для этого мы произведение числителей запишем в числитель, произведение знаменателей запишем в знаменатель: . Сократим дробь на 5 и на 7 и получим , – провели вычисления Саша и Паша.

– Ребята, а теперь давайте внимательно посмотрим на эти примеры, – сказал Мудряш. – В первом и втором примерах мы умножали числа на  и получали противоположные им. А значит, можем сказать, что при умножении числа на  получаем число, противоположное данному.

В четвёртом примере умножали на 0 и получили 0. В пятом примере умножали число на 1 и получили само это число.

В третьем примере умножали два числа с разными знаками и получили отрицательное произведение. А в шестом умножали два отрицательных числа, то есть с одинаковыми знаками, и получили положительное произведение.

Сделаем из этого следующие выводы. Запомните! Для любого рационального числа a верны равенства: ; .

Если числа a и b имеют одинаковые знаки, то произведение  положительно. И наоборот, если произведение  положительно, то числа a и b имеют одинаковые знаки.

Если числа a и b имеют разные знаки, то произведение  отрицательно. И наоборот, если произведение  отрицательно, то числа a и b имеют разные знаки.

Если хотя бы одно из чисел a или b равно нулю, то произведение  равно нулю. И наоборот, если произведение  равно нулю, то хотя бы одно из чисел a или b равно нулю.

– Ребята, прежде чем закрепить умение умножать рациональные числа, давайте с вами рассмотрим выражение . Мы знаем, что . Если , то это является произведением двух равных чисел, а значит, чисел с одинаковыми знаками. А мы только что сказали, что произведение чисел с одинаковыми знаками положительно, то есть .

Если же , то . Таким образом, выражение  принимает только неотрицательные значения.

Запомните! При любых значениях  выражение  принимает только неотрицательные значения, то есть .

– Паша, Саша, а сейчас давайте выполним задание, – сказал Мудряш.

Выполните умножение:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

Решение: В первом примере  нам надо умножить отрицательное число на положительное. Воспользуемся правилом умножения двух чисел с разными знаками. Тогда запишем произведение модулей множителей со знаком «»: . И, выполнив умножение в скобках, получим .

Второй пример: . Воспользуемся правилом умножения двух отрицательных чисел. Тогда перемножив  и , то есть  и , получим .

В третьем примере  воспользуемся правилом умножения двух чисел с разными знаками. Запишем произведение модулей дробей со знаком «»: . Перемножим дроби в скобках. Произведение числителей запишем в числитель, произведение знаменателей запишем в знаменатель: . Сократим на 3 и на 2 и получим .

Четвёртый пример: . Мы с вами уже знаем, что при умножении числа на  получаем число, противоположное данному. А значит, .

В следующем примере  нам надо перемножить две отрицательные дроби. Воспользуемся правилом умножения двух отрицательных чисел. Запишем произведение модулей этих дробей: . Произведение их числителей запишем в числитель, произведение их знаменателей запишем в знаменатель: . Сократим на 5 и на 9 и получим .

В последнем примере  умножаем 0 и получаем 0, так как если хотя бы один из множителей равен 0, то и произведение равно 0.