Предел функции в точке

Вопросы занятия:

·     познакомиться с понятием непрерывной функции;

·     познакомиться с понятием предел функции в точке;

·     рассмотреть примеры использования данных понятий для решения задач.

Материал урока.

Прежде чем приступить к изучению нового материала, давайте выполним упражнение.

Упражнение.

Давайте посмотрим на графики некоторых функций.

Вроде бы на всех трёх графиках изображена одна и та же кривая. Но, если мы внимательно посмотрим на эти графики, то увидим, что они отличаются своим поведением в точке x = a.

Для функции, график которой изображён на первом рисунке значение f(a) не существует, функция в указанной точке не определена. Для функции, график которой изображён на втором рисунке значение f(a) существует, но оно отличается от, казалось бы, естественного значения b. Наконец, для функции, график которой изображён на третьем рисунке, значение f(a) существует, и оно равно b.

Таким образом, перед нами графики различных функций, если же точку x = a исключить из рассмотрения, то функции совпадут: при x < a и при x > a графики одинаковы.

Для всех трёх случаев можно использовать одну и ту же запись:

Давайте теперь, глядя на наши рисунки ответим на вопрос: «Какая же из этих функций является непрерывной в точке x = a?» Очевидно, что это функция, график которой изображён на третьем рисунке.

Раньше мы с вами встречались с понятием непрерывная функция, но давали его чисто интуитивно. Если мы видели, что график функции – непрерывная линия, то такую функцию мы называли непрерывной.

Теперь давайте дадим точное определение непрерывной функции.

Определение.

Функцию y = f(x) называют непрерывной в точке x = a, если выполняется условие:

Функцию y = f(x) называют непрерывной на промежутке X, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Давайте перечислим известные нам непрерывные функции.

Опять же, свойства непрерывности этих функций мы давали, опираясь на их графики. Теперь давайте сформулируем чёткое правило:

Если выражение f(x) составлено из рациональных, иррациональных, тригонометрических выражений, то функция y = f(x) непрерывна в любой точке, в которой определено выражение f(x).

Давайте рассмотрим несколько примеров.

Пример.

Пример.

Рассмотрим ещё один пример.

Пример.

Для вычисления предела в точке, можно сформулировать теорему, аналогичную тем, которые мы формулировали для вычисления предела последовательности и предела функции на бесконечности.

Давайте вернёмся к рассмотренным примерам и решим их, используя сформулированную теорему.

Пример.

Пример.