Задачи про лжецов и правдолюбов

Давайте представим город, в котором живут люди, которые говорят только правду (назовём их правдолюбами), и люди, которые всегда лгут (справедливо назовём их лжецами).

Если вы попали в этот город и встретили там человека, но вы не знаете, правдолюб он или лжец, то вам нужно задать ему какие-то разумные вопросы, по которым вы сможете точно понять, кто перед вами – правдолюб или лжец.

Какие вопросы надо задавать?

Поговорим об этом, рассмотрев такую задачу.

Однажды Маша оказалась в каком-то одном из двух городов – А или Б. Она знает, что все жители города А говорят правду, а все жители города Б всегда лгут. При этом все они часто ездят к друг другу в гости. Может ли Маша, задав один-единственный вопрос первому встречному, узнать, в каком из городов она находится?

Решение. Давайте представим, что Маша находится в городе А, то есть в городе честных людей. Здесь она должна задать такой вопрос, на который и честный местный житель, и приезжий лгун дали бы один и тот же ответ, например, «да».

Получается, что ответ «да» на этот вопрос будет для местного жителя правдой, а для приезжего лгуна – ложью.

Другими словами, вопрос должен относиться к таким обстоятельствам, которые верны только для местных жителей.

Таких обстоятельств 2. Это наличие честности и принадлежность к числу местных жителей. То есть можно спросить: «Вы честный?» или «Вы местный?»

На каждый из этих вопросов в городе А всегда ответят «да».

А что на эти вопросы Маше ответят в городе Б?

На вопрос «Вы честный?» в городе Б, как и в городе А, любой ответит «да». Поэтому этот вопрос не поможет Маше понять, в каком городе она оказалась. А вот вопрос «Вы местный?» годится для города Б, ведь и лжец, и правдолюб в городе Б на него ответят «нет».

Таким образом, если Маша первому встречному задаст вопрос «Вы местный?» и услышит ответ «да», то она поймёт, что находится в городе А, то есть в городе правдолюбов. Если же на этот вопрос она услышит ответ «нет», то ей станет понятно, что она находится в городе Б, то есть в городе лжецов.

Ответ: Маша может задать вопрос: «Вы местный?».

Рассмотрим следующую задачу. Искатель сокровищ Чарли попал на остров. На этом острове живут только правдолюбы (они говорят только правду) и лжецы (они всегда лгут). Чарли сопровождал проводник – житель острова, который сказал, что знает, как найти спрятанные сокровища. Вскоре они увидели ещё одного жителя острова. Чарли отправил проводника узнать, кто этот житель острова – правдолюб или лжец. Проводник вернулся и сказал, что тот говорит, что лжец. Знает ли проводник, где спрятаны сокровища или нет, то есть правду он сказал Чарли, когда нанимался на работу, или солгал?

Решение. Если житель острова, которого встретили Чарли и проводник, оказался правдолюбом, то он об этом сообщил проводнику. Если же этот житель оказался лжецом, то он всё равно сказал бы проводнику, что он правдолюб. Проводник же сообщил Чарли, что житель острова лжец. Получается, что проводник соврал искателю сокровищ.

Следовательно, проводник не знает, где спрятаны сокровища, то есть он соврал Чарли.

Ответ: проводник соврал Чарли.

Решим такую задачу. В стране живут правдолюбы и лжецы. Путешественник, встретивший одного из местных жителей, спросил его, кем он является. Что ответил местный житель?

Решение. Любой житель этой страны скажет, что он правдолюб. Ведь, если путешественник встретил правдолюба, то тот сказал бы, что он правдолюб, то есть сказал правду. Если путешественник встретил лжеца, то тот солгал и тоже сказал, что он правдолюб.

Таким образом, кого бы не встретил путешественник, в ответ он услышал: «Я – правдолюб».

Ответ: местный житель ответил: «Я – правдолюб».

Рассмотрим следующую задачу. Турист, прогуливаясь по городу правдолюбов и лжецов, встретил человека, который сказал про себя: «Я – лжец». Кем был человек, которого встретил турист?

Решение. Человек, который сказал, что он лжец, не мог быть лжецом, так как лжецы никогда не говорят правды. Но он не мог быть и правдолюбом, так как правдолюбы никогда не лгут.

Так кем же был этот человек?

Он просто не был жителем города правдолюбов и лжецов.

Ответ: человек, которого встретил турист, не был местным жителем.

И решим ещё одну задачу. Встретились два жителя города правдолюбов и лжецов. Один сказал другому: «По крайней мере один из нас – правдолюб». «Ты – лжец», – ответил ему второй. Кто из них кто?

Решение. Предположим, что первый – лжец, а второй – правдолюб. То есть первый солгал, а второй сказал правду.

Раз первый соврал, то среди них вообще нет правдолюбов. Тогда наше предположение неверное.

Получается, что первый – правдолюб, а второй – лжец.

Ответ: первый – правдолюб, второй – лжец.