Сравнение чисел

Представим себе такую историю…

– Паша, над чем это ты задумался? – спросил у друга Саша.

– Знаешь, Саша, я захотел сравнить температуру воздуха на улице за последнюю неделю, – ответил Паша.

– И что же здесь сложного? – удивился Саша. – Мы же умеем сравнивать числа.

– Ну вот, смотри, – начал Саша, – в понедельник температура была равна . Во вторник была . В среду она стала . В четверг столбик термометра опустился до . В пятницу было уже . В субботу было . А в воскресенье температура была .

– А как сравниваются отрицательные числа? – спросил Саша.

– Вот и я не знаю, – ответил Паша. – Давай спросим у Мудряша.

– Ребята, прежде чем я отвечу на ваш вопрос, давайте немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Мудряш.

– Теперь сверимся! – сказал Мудряш. – Посмотрите, что у вас должно было получиться!

– А сейчас можем вернуться к вашему вопросу, – начал Мудряш. – Ребята, вы уже умеете сравнивать любые положительные числа друг с другом и 0. У вас возник вопрос, можно ли сравнивать отрицательные числа и как это делать? Конечно, можно! И сегодня на уроке мы научимся сравнивать отрицательные числа с положительными, отрицательные числа с 0 и отрицательные числа друг с другом.

Вам известно, что на координатном луче из двух чисел большее число расположено правее меньшего. То же самое мы можем сказать и про координатную прямую.

Давайте начертим координатную прямую. Отметим на ней начало отсчёта. Выберем единичный отрезок.

Отметим на нашей координатной прямой значения температуры воздуха за последнюю неделю. В понедельник было  тепла. Отметим это точкой А (3). Во вторник был . Отметим это точкой В (1). В среду термометр показывал . Это отметим точкой С (). В четверг столбик термометра опустился до . Это значение мы отметим точкой D (). В пятницу было  мороза, а значит, на координатной прямой отметим точку Е ().  в субботу отметим точкой О. В воскресенье уже было . Отметим это точкой P (2).

– В понедельник была самая тёплая погода, поэтому точка А (3) расположена правее всех остальных точек, – сказали Паша и Саша. – А в четверг был самый холодный день, поэтому точка D () расположена левее других точек.

– Всё верно! Молодцы! – похвалил мальчишек Мудряш и продолжил, – мы можем записать, что . При этом обратите внимание, что все положительные числа расположены правее отрицательных чисел. А значит, любое положительное число больше любого отрицательного числа.

Давайте рассмотрим точку D ( и точку С (). Точка D лежит левее точки C, то есть . При этом заметим, что модуль .

– То есть получается, что из двух отрицательных чисел меньше то, чей модуль больше? – заметили Паша и Саша.

– Совершенно верно! – отметил Мудряш и сказал, – запомните! На координатной прямой из двух чисел большее число расположено правее меньшего. Любое положительное число больше любого отрицательного числа. Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше.

Вернёмся к координатной прямой. Посмотрите, число 0 расположено левее любого положительного числа и правее любого отрицательного числа, – сказал Мудряш.

– А значит, любое положительное число больше 0, а любое отрицательное число меньше 0, – сделали вывод мальчики.

– Молодцы! – похвалил Мудряш ребят и продолжил, – если a – положительное число, то записывают неравенство: .

– Если a – отрицательное число, то записывают: , – подсказали мальчики.

– Верно! Если же a – неотрицательное число, то пишут: , – продолжил Мудряш.

– Если же a – неположительное число, то пишут: , – снова подсказали ребята.

– Молодцы! – похвалил Сашу и Пашу Мудряш и продолжил, – а теперь с помощью рассмотренных обозначений запишем свойство модуля. Что вы знаете о модуле?

– Мы знаем, что , если a – неотрицательное число, – начал Паша.

– И что , если a – отрицательное число, – добавил Саша.

– Всё верно! – сказал Мудряш. – Теперь мы с вами можем записать это следующим образом:

Запомните! Любое отрицательное число меньше нуля, любое положительное число больше нуля. Если a – положительное число, то пишут: . Если a – отрицательное число, то пишут: . Если a – неотрицательное число, то пишут: . Если a – неположительное число, то пишут: .

А теперь выполним несколько заданий.

Задание первое: сравните числа:

а)  и ; б)  и ; в)  и ; г)  и .

Решение:  и . Мы знаем, любое отрицательное число меньше 0. Значит, .

 и . Любое положительное число больше любого отрицательного числа, а значит, .

 и . Оба числа отрицательные. Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше. ; . Мы знаем, что из двух смешанных чисел больше то, целая часть которого больше. То есть . Тогда .

 и . Снова сравниваем два отрицательных числа. Найдём их модули. ; . Модуль первого числа больше, чем модуль второго. Значит, .

Второе задание: расположите числа  в порядке убывания.

Решение: Из всех чисел выберем наибольшее. Мы с вами знаем, что любое положительное число больше любого отрицательного числа. Из всех положительных чисел наибольшим является 3,6. Запишем его. Следующее наибольшее положительное число из оставшихся у нас 1,1. Запишем его. И последнее положительное число – это 0,01. Запишем его.

У нас остались отрицательные числа и 0. Любое отрицательное число меньше 0. А значит, следующим в наш ряд запишем число 0. Чтобы сравнить отрицательные числа, давайте найдём их модули: ; ; . Мы с вами знаем, что из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше. Наименьшее значение модуля имеет число . Значит, оно наибольшее из всех отрицательных чисел. Запишем его. Следующее наименьшее значение модуля имеет число . Значит, следующим в наш ряд запишем число . И последним запишем число . Оно является самым наименьшим.

Вот таким образом мы расположили данные числа в порядке убывания.

Следующее задание: между какими соседними целыми числами расположены на координатной прямой данные числа ?

Решение: для большей наглядности начертим координатную прямую. Отметим на ней начало отсчёта. За единичный отрезок возьмём 2 клеточки.

Итак, первое число у нас . Отметим его на координатной прямой. Затем отметим ближайшие к нему целые числа. Это числа  и . Записать ответ на вопрос задачи мы с вами можем в виде двойного неравенства: .

Следующее число у нас . Отметим его на нашей координатной прямой, а также ближайшие к нему целые числа 1 и 2. Тогда записать ответ на вопрос задачи можно в виде двойного неравенства: .

И ещё одно число – это . Отметим его на координатной прямой. Рядом с ним находятся целые числа – 0 и . Тогда записать ответ на вопрос задачи можно в виде двойного неравенства: .

И последнее задание: известно, что x и y – положительные числа, a и b – отрицательные числа. Сравните: а)  и ; б)  и ; в)  и ; г)  и ; д)  и .

Решение:  и . Так как по условию x – положительное число, а любое положительное число больше 0, то получаем неравенство: .

Сравним  и . У нас a – отрицательное число, а значит, противоположное ему число  будет положительным, то есть .

Сравним  и . У нас y положительное число, а b – отрицательное. Мы с вами знаем, что любое положительное число больше любого отрицательного числа. Значит, .

Сравним  и . Число a у нас отрицательное число. Число  противоположно отрицательному числу b, а значит, является положительным, то есть . Любое положительное число больше любого отрицательного числа. Тогда мы с вами запишем неравенство: .

И последнее:  и . Число a у нас отрицательное. Его модуль будет положительным. Так как любое положительное число больше любого отрицательного числа, то будет верным неравенство: .