Модуль числа

Представим себе такую историю…

– Привет, Паша! Чем ты занимаешься? – спросил у друга Саша.

– Я собираюсь разгадать ребус, – ответил Паша. – Давай разгадаем его вместе.

– Давай, – сказал Саша.

– Смотри, – показал ребус другу Паша. – Здесь нарисован перевёрнутый дом и пульт с запятыми.

– А почему дом перевёрнут? – спросил Саша.

 – Это означает, что слово «дом» надо читать справа налево, – пояснил Паша. – То есть получаем слово «мод».

– Вторая картинка в ребусе – пульт. Что означают запятые перед и после картинки? – задал вопрос Саша.

– Запятые в ребусе означают, что из названия картинки нам нужно исключить столько букв, сколько стоит запятых, – объяснил Паша.

– Значит, в слове «пульт» мы уберём первую и последнюю буквы, – неуверенно сказал Саша.

– Верно! – отметил Паша. – Мы уберём буквы «п» и «т».

– И у нас останется слово «уль», – подсказал другу Саша.

– А теперь из получившихся слов «мод» и «уль» составим слово «модуль», – сказал Паша.

– А что оно означает? – спросил Саша.

– Не знаю. Давай спросим у Мудряша, – ответил Паша.

– Ребята, прежде чем я отвечу на ваш вопрос, давайте немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Мудряш.

– Теперь сверимся! – сказал Мудряш. – Посмотрите, что у вас должно было получиться!

– А сейчас можем вернуться к вашему вопросу, – начал Мудряш. – Ребята, давайте на координатной прямой отметим точку А (4) и точку В (). Эти точки имеют разные координаты, но и точка А, и точка В расположены на расстоянии 4 единичных отрезков от начала отсчёта.

Для такого расстояния и придумано название модуль числа. Тогда можно сказать, что числа 4 и  имеют одинаковые модули, равные 4. Записывают это вот таким образом:  и .

Обратите внимание! Так как расстояние не может быть отрицательным, то и модуль числа не может быть отрицательным.

– Запомните! – сказал Мудряш. – Модулем числа а называют расстояние от начала отсчёта до точки, изображающей это число на координатной прямой.

Модуль числа a обозначают так: . И читают: «модуль числа а».

Модуль числа принимает только неотрицательные значения.

– Давайте найдём модули чисел 3; ; ; 0 и 2,5, – предложил Мудряш. – Начертим координатную прямую. Отметим на ней начало отсчёта точкой О. А за единичный отрезок возьмём 2 клеточки. Первое число у нас 3. Отметим его на координатной прямой. Расстояние от начала координат до него равно 3 единичным отрезкам, а значит, .

Второе число у нас . Отметим его на координатной прямой. Расстояние от начала координат до него равно  единичного отрезка. А значит, .

Затем число . Отметим его. Расстояние до него от начала координат равно 3 единичным отрезкам, то есть .

Следующее число у нас 0. , так как точка с координатой 0 совпадает с началом отсчёта.

И ещё одно число – 2,5. Отметим его на нашей координатной прямой. Расстояние от начала отсчёта до него равно 2,5 единичным отрезкам, а значит, .

Обратите внимание, что модулями положительных чисел 3 и , а также 0 являются сами эти числа. А вот модулями отрицательных чисел  и  являются противоположные им числа  и 3. Причём модули противоположных чисел 3 и  равны.

– Запомните! – сказал Мудряш. – Модуль неотрицательного числа равен этому числу. То есть , если a – неотрицательное число. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу. То есть , если a – отрицательное число. Модули противоположных чисел равны. То есть .

А теперь выполним несколько заданий.

Задание первое: найдите значения выражений:

а) ; б) ; в) ; г) .

Решение: в выражении  надо найти сумму модуля числа  и модуля числа . Найдём: ; . Сумма чисел 71 и 29 равна 100.

В выражении  надо вычислить разность модулей чисел 6,5 и . Найдём: ; . Разность чисел 6,5 и 0,8 равна 5,7.

В выражении  надо найти частное модуля  и модуля 7. Найдём: ; . Частное чисел 6,3 и 7 равно 0,9.

И в последнем выражении  надо найти произведение модулей дробей  и . Найдём: ; . Запишем произведение этих дробей: . Выполним сокращение числителя и знаменателя на 3 и на 7. И получим .

Второе задание: найдите:

а) положительное число, модуль которого равен 9; 7,1;

б) отрицательное число, модуль которого равен ; 85.

Решение: мы знаем, что . Воспользовавшись этим равенством справа налево, мы можем записать, что , а .

Модуль отрицательного числа равен противоположному числу, то есть . Воспользовавшись этим равенством справа налево, можем записать, что одна , а .

Следующее задание: расположите числа  в порядке возрастания их модулей.

Решение: сначала нам надо найти модули данных чисел. Итак, ; ; ; ; ; ; ;  и .

Нам надо расположить числа в порядке возрастания их модулей. Наименьший модуль имеет число 0. Запишем его первым. Следующее наименьшее значение модуля имеет число 0,15. Записываем его. Далее наименьший модуль у числа . Следующее наименьшее значение имеет модуль . Записываем . Затем записываем число , так как его модуль самый меньший из оставшихся. За ним будет идти . Следующее наименьшее значение модуля имеет число . Записываем его. Далее будет идти 7,14. Самое большое значение модуля имеет число . Записываем его последним.

И последнее задание: решите уравнения:

а) ; б) ; в) .

Решение: для решения этих уравнений мы воспользуемся известными равенствами: , если a – неотрицательное число; , если a – отрицательное число.

Первое уравнение. Если модуль , то  или , так как  и .

Второе уравнение: . Решением этого уравнения является , так как только .

И последнее уравнение  не имеет решений, так как модуль не может быть отрицательным.