Целые числа. Рациональные числа

Представим себе такую историю…

– Привет, Паша! – поздоровался с другом Саша. – Извини, что опоздал.

– Что случилось? – поинтересовался Паша.

– Ничего не случилось. Просто когда мы договаривались встретиться в кафе, ты сказал, что мне нужно выйти из автобуса и пройти дальше по тротуару 100 метров. Но ты не сказал, в какую сторону надо идти, – говорил немного расстроенный Саша.

– После того, как ты вышел из автобуса, надо было идти дальше по направлению движения автобуса, то есть повернуть налево и пройти 100 метров, – пояснил Паша.

– А я повернул направо и прошёл 100 метров, – сказал Саша.

– Извини, что так вышло. Ты прошёл 100 метров, но в противоположном направлении. А давай мы об этом поговорим с Мудряшом, – предложил другу Паша.

– Давай, – согласился с ним Саша.

– Ребята, прежде чем мы с вами поговорим, давайте немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Мудряш.

– Теперь сверимся! – сказал Мудряш. – Посмотрите, что у вас должно было получиться!

– А сейчас можем вернуться к вашему вопросу, – начал Мудряш. – На прошлом уроке мы с вами ввели понятие координатной прямой. Напомним, что координатной прямой называют прямую, на которой выбрали начало отсчёта, единичный отрезок и направление.

Начертим координатную прямую. Отметим на ней начало отсчёта. Пусть длина единичного отрезка равна 20 метрам. Представим, что автобусная остановка, на которой вышел Саша, расположена в начале отсчёта. Паша сказал Саше, что кафе находится в 100 метрах от автобусной остановки, но не уточнил, в какую сторону нужно идти Саше.

Если бы кафе было расположено справа от автобусной остановки, то есть от начала отсчёта, то на координатной прямой ему бы соответствовала точка 100. А если бы слева, то ему бы соответствовала бы точка .

То есть получается, чтобы попасть из начала в эти точки, надо пройти одинаковые расстояния, но в противоположных направлениях. Тогда числа 100 и  называют противоположными. Будем говорить, что число 100 противоположно числу , а число  противоположно числу 100.

Давайте ещё приведём примеры противоположных чисел.

–  и 7; 30,9 и ;  и , – начали перечислять мальчики, и у них возник вопрос, – а какое число является противоположным числу 0?

– Запомните! – сказал Мудряш. – Число 0 противоположно самому себе. Число, противоположное числу a, обозначают как .

– Обратите внимание, – продолжил Мудряш, – что, поставив, например, перед положительным числом 15 знак «», мы получим число , противоположное 15. Приписав перед отрицательным числом  знак «», мы получим число 15, противоположное .

– Запомните! – сказал Мудряш. – Число, противоположное числу , равно числу а. То есть верно следующее равенство: . Обратите внимание, что использование скобок в этом равенстве обязательно.

– Получается, что каждое число имеет противоположное ему число? – спросили ребята.

– Да, и только одно, – сказал Мудряш и добавил, – запомните! Все натуральные числа, противоположные им числа и 0 называют целыми числами. Натуральные числа называют целыми положительными числами. А числа, противоположные натуральным, называют целыми отрицательными числами.

– Тогда как называют числа, например, ; 3,5; ? – спросили мальчишки.

– Такие числа называются дробными числами, – ответил Мудряш. – Запомните! Целые и дробные числа называют рациональными числами.

– Давайте приведём примеры рациональных чисел, – предложил Мудряш.

– ; 2; 105; ; 0; ; , – привели примеры Саша и Паша.

– Хорошо! А сейчас составим следующую схему, – сказал Мудряш. – Мы сказали, что рациональными называют целые и дробные числа. Целыми числами называют натуральные числа, 0 и числа, противоположные натуральным. Дробными числами являются положительные и отрицательные дроби.

А теперь давайте выполним несколько заданий.

Задание первое: найдите числа, противоположные числам .

Решение: первое число у нас 12. Припишем перед ним знак «» и получим противоположное ему число .

Второе число у нас . Припишем перед ним знак «». Воспользовавшись равенством , получим противоположное ему число .

Следующее число у нас . Поставим перед ним знак «». Воспользовавшись равенством , получим противоположное число .

Перед числом  поставим знак «» и получим противоположное число .

Противоположным числу 0 является само число 0.

Следующее число у нас . Припишем перед ним знак «» и получим противоположное число .

Перед числом  припишем знак «». Воспользовавшись равенством , получим противоположное число .

Следующее задание: выберите из чисел  натуральные, целые, отрицательные, неотрицательные, дробные.

Решение: давайте заполним следующую таблицу.

Число 8 мы можем отнести к натуральным числам, целым и неотрицательным. Напомним, что к неотрицательным числам относятся положительные числа и 0.

 отнесём к неотрицательным и дробным.

 у нас – целое отрицательное число.

 также отнесём к целым и отрицательным.

0 отнесём к целым и неотрицательным.

 к отрицательным числам и дробным.

150 запишем к натуральным, целым и неотрицательным.

6,3 отнесём к неотрицательным числам и дробным.

И последнее число у нас . Его мы запишем к отрицательным числам и дробным.

И ещё одно задание: решите уравнения: а) ; б) ; в) .

Решение: первое уравнение: . Чтобы его решить, воспользуемся уже известным нам равенством , но справа налево. Тогда можем записать, что . Подставим  вместо . И получим, что . Следовательно, .

Второе уравнение: . Также воспользуемся равенством . Тогда можем записать, что . Подставим вместо . Получим, что . Откуда .

И последнее уравнение: . Снова воспользуемся равенством , но справа налево: . Подставим вместо . И получим, что .