Деление

Представим себе такую историю…

– И как же мне узнать-то? – задумался Саша.

– Что случилось? – поинтересовался у друга Паша.

– Мы с родителями собрали 27 литров берёзового сока, – начал рассказывать Саша. – Мама сказала к вечеру подготовить трёхлитровые банки, чтобы закатать сок.

– Здорово! – обрадовался за друга Паша. – Берёзовый сок очень полезный! Так, а что ты там не мог узнать?

– Не могу понять, сколько мне нужно подготовить банок, – расстроенно ответил Саша.

– Ну, давай подумаем вместе! – предложил Паша. – Тебе нужно подготовить трёхлитровые банки, то есть банки, в которые поместится 3 литра сока. Правильно?

– Да! – ответил Саша.

– Всего вы собрали 27 литров берёзового сока, – продолжил рассуждать Паша.

– Всё верно! – подтвердил Саша.

– Хорошо! – продолжил Паша. – Значит, надо найти такое число, которое при умножении на 3 даст 27.

– Так это же легко, – сказал Саша. – Если 9 умножить на 3, то получится 27.

– Значит, тебе нужно подготовить 9 банок! – закончил Паша.

– И что, каждый раз так делают? – поинтересовался Саша. – Если в жизни встретятся подобные задачки, нужно будет искать число, которое при умножении с известным числом даёт нужное число?

– Не знаю! – задумался Паша. – А давай спросим у Электроши.

– Ребята, прежде чем я вам расскажу, как решать подобные задачки, давайте немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Электроша.

– Давайте сверимся! Посмотрите, что у вас должно было получиться!

– А теперь вернёмся к вашему вопросу, – предложил Электроша. – Вы всё правильно посчитали и верно заметили, что для того, чтобы узнать, сколько нужно подготовить трёхлитровых банок, нужно найти такое число, которое при умножении на 3 даст 27. То есть вы по одному из множителей и заданному произведению нашли второй множитель. В таких случаях говорят о делении.

– Запомните! – сказал Электроша. – Действие, с помощью которого по произведению и одному из множителей находят другой множитель, называют делением. Действие деления определяют с помощью действия умножения. Например, 27 разделить на 3 – значит найти такое число, которое при умножении на 3 даёт число 27. Имеем: 9 умножить на 3 равно 27, поэтому 27 разделить на 3 равно 9.

Вообще, для натуральных чисел , и равенство верно, если верно равенство .

В равенстве число называют делимым, число – делителем, число и саму запись  – частным.

Частное  показывает, во сколько раз число больше числа или во сколько раз число меньше числа .

– Электроша, а я слышал, что на 0 делить нельзя, – перебил Паша. – Это правда?

– Давайте порассуждаем, – предложил Электроша. – Возьмём какое-нибудь число, например 7. Что значит разделить 7 на 0?

– Это значит найти такое число , которое при умножении на 0 даёт 7, – предположил Саша.

– Но ведь мы знаем, что если любое число умножить на 0, то всегда получится 0, – возмутился Паша.

– Верно! – подтвердил Электроша. – И это нам говорит, что никакое натуральное число невозможно разделить на 0. Следовательно, вычислить частное 7 и 0 нельзя.

Запомните! На нуль делить нельзя.

– Электроша, а 0 можно разделить на какое-нибудь число? – поинтересовался Саша.

– Давайте опять порассуждаем, – предложил Электроша. – Что значит разделить 0 на число ?

– Это значит найти такое число , которое при умножении на даст 0, – предположил Паша.

– Хорошо! – согласился Электроша. – Тогда скажите, можно ли найти такое число ?

– Так это всем понятно, что можно, – начал Саша. – Сюда подойдёт число 0. Ведь 0 умножить на равно 0.

– Молодец! – похвалил Сашу Электроша. – Запомните! При делении нуля на натуральное число частное равно нулю. Также для любого натурального числа верны следующие равенства: , , . Первое равенство говорит, что деление числа на единицу результатом имеет само число. Второе – деление числа на само себя имеет результатом число один. Последнее равенство выполняется при всех натуральных числах, кроме , так как на ноль делить нельзя.

– Электроша, а как проверить, правильно ли выполнено деление? – спросил Паша.

– Вообще, для того чтобы убедиться в правильности выполнения деления, существует два способа, – сказал Электроша. – Первый способ: нужно перемножить делитель и частное, в результате должно получиться делимое. Второй способ: нужно разделить делимое на частное, в результате должен получиться делитель.

– А теперь давайте попробуем найти частное от деления чисел 126 126 и 231.

– Ого! Какие большие числа! – удивились ребята. – Тут нам без калькулятора не обойтись.

– Ребята, всё гораздо проще, чем кажется на первый взгляд, – успокоил ребят Электроша. – Вы уже умеете делить уголком многозначное число на двузначное. Точно так же выполняют и деление любых многозначных чисел. Такой способ поможет быстро и без ошибок выполнить вычисление.

– Итак, запишем числа рядом на одной строчке, а чтобы их не перепутать, поставим между ними уголок. Под горизонтальной чертой будем писать частное или результат деления. Приступим к делению. В данном случае, чтобы найти первую цифру частного, надо взять первые четыре цифры делимого и получившееся число разделить на делитель 231.

– Электроша, а почему мы берём именно первые четыре цифры делимого? – спросил Саша.

– Потому что если бы мы взяли хотя бы на одну цифру меньше, то получившееся число, в данном случае 126, оказалось бы меньше делителя 231, а такое деление мы не можем выполнить.

Итак, берём первые четыре цифры делимого и попытаемся разделить получившееся число на 231. Наиболее подходящим здесь будет число 5. Запишем его в строчке под делителем. Затем 5 умножим на 231. Получим 1155. Получившееся число запишем под нашими четырьмя цифрами, что мы брали в качестве делимого. Теперь от 1261 отнимем 1155. Получим 106. Число 106 меньше делителя, значит, число 5 мы нашли верно. Теперь снесём следующую цифру делимого, то есть 2. Разделим число 1062 на 231. Возьмём по 4. Запишем четвёрку рядом с пятёркой в частном. Затем 4 умножим на 231. Получим 924. И вычтем из 1062 число 924. Получим 138. Видим: это число меньше делителя, значит, число 4 мы нашли верно. Затем снесём последнюю цифру делимого. Получившееся число 1386 разделим на 231. Берём по 6. 6 умножим на делитель и получим 1386. Выполним вычитание. Получим 0. Деление закончено. Следовательно, 126 126 разделить на 231 равно 546.

– А теперь давайте решим несколько уравнений: , ,  – предложил Электроша. Итак, первое уравнение .

– Для того чтобы найти корень этого уравнения, нужно вспомнить правило нахождения неизвестного множителя, – начал Саша. – Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель. Получаем, что .

– Молодец! – похвалил Сашу Электроша. – Следующее уравнение .

– А здесь нам нужно воспользоваться правилом нахождения неизвестного делимого, – сказал Паша, – чтобы найти неизвестное делимое, надо делитель умножить на частное. Тогда получаем, что .

– Правильно! – подтвердил Электроша. – И осталось решить последнее уравнение: .

– В этом уравнении нам нужно найти делитель, – начал рассуждать Cаша, – значит, воспользуемся правилом нахождения неизвестного делителя: чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное. Получаем, что .

– А теперь, ребята, давайте посмотрим, как вы всё поняли, и выполним несколько заданий.

Задание первое: скорость моторной лодки 28 км/ч, а скорость течения реки в 14 раз меньше. Какое расстояние по течению реки пройдёт лодка за 4 часа?

Решение: сначала найдём скорость течения реки. Для этого 28 разделим на 14. Получим, что скорость течения реки 2 км/ч. Затем вычислим скорость моторной лодки по течению реки. Для этого к скорости моторной лодки прибавим скорость течения реки. Получим 30 км/ч. И осталось узнать, какое расстояние пройдёт моторная лодка по течению реки за 4 часа. 30 умножим на 4. Получаем, что моторная лодка за 4 часа пройдёт 120 км по течению реки.

Следующее задание: из двух городов, расстояние между которыми 260 км, одновременно вышли два поезда в одном направлении. Скорость шедшего впереди поезда 50 км/ч, а скорость шедшего позади поезда 70 км/ч. Через сколько часов после выхода второй поезд догонит первый?

Решение: для начала вычислим, на сколько уменьшается расстояние между поездами каждый час. Для этого от 70 отнимем 50. Получим 20. А затем вычислим время, за которое второй поезд догонит первый. 260 разделим на 20. Получаем, что второй поезд догонит первый поезд через 13 часов.