Сочетательное и распределительное свойства умножения

Представим себе такую историю…

– 3 умножить на 2 и умножить на 12… так, так, так… Получается 72, – считал Саша.

– Саша, что ты там считаешь? – спросил у друга Паша.

– Папа привёз мне 3 коробки с шоколадными плитками, в каждой коробке по 2 плитки, а в каждой плитке по 12 долек. Мне стало так интересно, это же сколько шоколадных долек я съем. Представляешь, получилось 72 шоколадные дольки, – радовался Саша.

– Здорово! – сказал Паша. – Но я бы посчитал дольки по-другому. Смотри, у тебя есть 3 коробки, а в каждой коробке 2 шоколадные плитки по 12 шоколадных долек каждая… Посчитаем… тоже получается, что у тебя 72 шоколадные дольки.

– Как же это так? – задумался Саша. – Мы с тобой считали совсем по-разному, а количество долек получилось одинаковое. Разве может быть такое?

– Не знаю, – ответил Паша, – но точно знаю, кто может нам помочь!

– Ребята, прежде чем я вам объясню, почему у вас получилось одинаковое количество шоколадных долек, давайте немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Электроша.

– Давайте сверимся! Посмотрите, что у вас должно было получиться!

– А теперь вернёмся к вашему вопросу, – продолжил Электроша. – Чтобы посчитать количество шоколадных долек, Саша 3 умножил на 2 и тем самым выяснил сколько шоколадных плиток ему привёз папа. А так как в каждой шоколадной плитке по 12 долек, то Саша полученное произведение умножил на 12. И получил, что всего у него 72 шоколадные дольки.

– Точно, Электроша! Я так и считал, – подтвердил Саша.

– В свою очередь, Паша решил посчитать количество шоколадных долек другим способом. Он 3 умножил на произведение 2 и 12, так как в трёх коробках будет по 2 умножить на 12 шоколадных долек. И тоже получил, что всего 72 шоколадные дольки.

– Да, именно таким способом я считал, – сказал Паша.

– Вы заметили, что способы подсчёта разные, а в результате получается одно и то же число – 72, – продолжил Электроша. – А почему так случилось? Да потому, что оба способа подсчёта верны и показывают нам очередное свойство умножения, которое называется сочетательное свойство умножения.

Запомните! Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.

В буквенном виде это свойство записывают так: .

Сочетательное свойство умножения разрешает в произведении ставить скобки и объединять множители как удобнее.

– Вот, например, давайте найдём значение выражения: , – предложил ребятам Электроша.

– Электроша, это сложный пример, – задумались мальчишки, – в уме нам такой не решить. Сначала нужно умножить 737 на 25, а потом ещё и на 4. Без калькулятора тут нам не обойтись.

– Ребята, пример кажется сложным только на первый взгляд, – подбодрил ребят Электроша. – Давайте применим сочетательное свойство умножения и возьмём в скобки множители 25 и 4. Смотрите, произведение 25 и 4 совсем не сложно найти в уме, оно равно 100. Останется посчитать, чему будет равно произведение 737 и 100.

– Получится 73 700, – сказали мальчишки.

– Молодцы! – похвалил ребят Электроша. – Вы заметили, как быстро мы справились с решением примера?

– Да… мы решили его за 5 секунд, – радовались мальчишки.

– Польза от сочетательного свойства умножения будет ещё больше, если применить его вместе с переместительным свойством. И помните, прежде чем начать вычисления, нужно всегда подумать, как это сделать проще!

– Давайте решим вот такой пример: .

– Сначала воспользуемся переместительным свойством умножения и переставим местами множители 5 и 824, – начал Паша. – А потом применим сочетательное свойство умножения и заключим в скобки множители 5 и 20.

– 5 умноженное на 20 равно 100, – продолжил Саша. – А теперь 824 умножим на 100. Получим 82 400.

– Молодцы! – похвалил ребят Электроша. – А теперь давайте решим вот такую задачку: Саша за 1 минуту может решить 3 примера, а Паша за это же время может решить 4 примера. Сколько примеров решат за 5 минут Саша и Паша вместе?

– Электроша, это же задача про нас! – обрадовались ребята.

– В задаче сказано, что я могу решить 3 примера за 1 минуту, – начал Саша. – Значит, за 5 минут я могу решить 5 умножить на 3 примеров.

– А я за 1 минуту могу решить 4 примера, – продолжил Паша. – Тогда за 5 минут я смогу решить 5 умножить на 4 примеров.

– Осталось сложить наши решённые примеры, – сказали мальчишки. – И получим, что за 5 минут мы вместе можем решить 35 примеров.

– Молодцы! – похвалил ребят Электроша. – Но эту же задачу можно было решить и другим способом. Смотрите, за 1 минуту вы можете вместе решить 3 + 4 примеров. Тогда за 5 минут вы вместе решите 5 умноженное на сумму 3 и 4. Посчитаем… тоже получаем 35 примеров.

Посмотрите, правые части наших равенств равны, значит, будут равны и левые части. Получаем равенство, которое иллюстрирует распределительное свойство умножения относительно сложения.

Запомните! Чтобы число умножить на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое из слагаемых и полученные произведения сложить.

В буквенном виде это свойство записывают так: .

Из распределительного свойства умножения относительно сложения следует, что это равенство справедливо и справа налево: .

Кстати, распределительное свойство умножения относительно сложения справедливо для трёх и более слагаемых.

– Напомните мне, какую формулу мы применяем для нахождения периметра прямоугольника, – спросил у ребят Электроша.

– , – ответили мальчишки.

– Молодцы! Применяя распределительное свойство умножения относительно сложения, формулу для нахождения периметра прямоугольника можно записать и в таком виде: 𝑃=2𝑎+2𝑏=2(𝑎+𝑏).

– Распределительное свойство умножения действует и относительно вычитания, – продолжил Электроша.

Запомните! Чтобы число умножить на разность двух чисел, можно это число умножить на уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе.

В буквенном виде это свойство записывают так: . Равенства справедливы для всех натуральных чисел при или .

– Давайте решим вот такой пример: , – предложил Электроша.

– Электроша, но тут какие-то сложные вычисления получаются, – расстроился Саша.

– Тут совсем нет ничего сложного, – подбодрил Сашу Электроша. – Применяя распределительное свойство умножения относительно вычитания, мы можем записать это выражение как 4 умножить на 250 минус 4 умножить на 25. Ну а теперь вы можете вычислить?

– Да, – обрадовались мальчишки. – Первое произведение равно 1000, второе – 100. Тогда разность произведений будет равна 900.

– А теперь, ребята, давайте посмотрим, как вы всё поняли, и выполним задание.

Задание первое: вычислите наиболее удобным способом:

а) ;

б) ;

в) .

Решение: первое выражение: . Применим переместительное свойство умножения и поменяем местами второй и третий множители. Затем применим сочетательное свойство умножения и заключим в скобки первый и второй множители. Тогда в скобках получим 10. Осталось 10 умножить на 497. В результате получим 4970.

Следующее выражение: . Применим распределительное свойство умножения относительно сложения (справа налево). Получим произведение 209 и суммы чисел 19 и 81. В скобках получаем 100. 209 умножим на 100. В результате получим 20 900.

И последнее выражение: . Применим распределительное свойство умножения относительно вычитания. Получим произведение 28 и разности чисел 160 и 60. В скобках получаем 100. Тогда 28 умножим на 100. В результате получим 2800.