Деление с остатком

Представим себе такую историю…

– Саша, о чём ты там задумался? – спросил у друга Паша.

– Да, вот решил посчитать, сколько воскресений в году, – ответил Саша.

– Ну и что тут сложного? – удивился Паша.

– Да какая-то сложная задача получается, – расстроенно сказал Саша, – как посчитать, если нет никаких чисел?

– Как это нет чисел, – сказал Паша, – сколько воскресений бывает в одной неделе? – спросил он у Саши.

– Одно воскресенье, – ответил Саша.

– Хорошо! – продолжил Паша. – А сколько недель в году?

– Не знаю, – расстроенно ответил Саша. – Их же очень много и никак не сосчитать.

– А вот и неправильно, – сказал Паша, – сосчитать их совсем не сложно. Нужно только немножко подумать. Итак, чтобы узнать, сколько недель в году, нужно количество дней в году разделить на количество дней в одной неделе.

– Ну, в одной неделе 7 дней, – начал размышлять Саша, – это всем известно. А вот в году дней может быть по-разному. Это или 365 дней, или 366 дней, если год високосный.

– Правильно! – сказал Паша. – Вот видишь, и числа появились! Теперь осталось разделить 365 на 7 и 366 на 7. Предлагаю делить столбиком, так будет проще!

– Паша, тут какое-то странное деление получается – возмутился Саша. – Смотри, в первом частном осталось число 1, которое никак нельзя разделить на 7, а во втором – число 2, которое тоже не делится на 7. Что делать с этими числами?

– Странно! – задумался Паша. – Обычно все числа делятся… А давай спросим у Электроши, как так могло получиться. Может, мы неправильно что-то посчитали?

– Ребята, прежде чем я вам расскажу, как решать подобные задачки, давайте немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Электроша.

– Давайте сверимся! Посмотрите, что у вас должно было получиться!

– А теперь вернёмся к вашему вопросу, – предложил Электроша. – Вы всё правильно посчитали и верно заметили, что при делении числа 365 на 7 остаётся число 1, которое никак нельзя разделить на 7, а при делении числа 366 на 7 – число 2, которое тоже не делится на 7. В таких случаях говорят, что деление выполнено с остатком.

Деление с остатком принято записывать следующим образом: , .

В наших записях числа 365 и 366 называют делимыми, число 7 – делителем, число 52 – неполным частным, а числа 1 и 2 – остатками.

Говорят, что при делении числа 365 на число 7 получили неполное частное, равное 52, и остаток – 1, а при делении числа 366 на число 7 получили неполное частное, равное 52, и остаток – 2. Заметим, что в наших записях число 52 – это наибольшее число, произведение которого на делитель 7 меньше делимого 365 или 366.

– Каков же вывод мы можем сделать о количестве воскресений в году? – спросил у ребят Электроша.

– Полных недель в году 52, это 364 дня, плюс ещё 1 или 2 дня в зависимости от года – начали рассуждать ребята. Тогда получаем, что в первых 364 днях 52 воскресенья.

– Молодцы! – похвалил ребят Электроша. – А точнее говоря, если 365-й или 366-й день – воскресенье, то всего воскресений в году будет 53. Если же какой-то другой день недели, то их будет 52.

– Электроша, а есть какой-нибудь способ убедиться, что деление с остатком выполнено верно? – решили спросить ребята.

– Вообще при делении с остатком работает следующее правило: делимое равно произведению делителя и неполного частного, сложенному с остатком.

В буквенном виде это правило записывают так: .

где   – делимое, – делитель, – неполное частное,   – остаток, при  .

– А теперь давайте выполним деление следующих чисел: , , , , , , – продолжил Электроша.

– , – начал Саша.

– , – продолжил Паша.

– , – посчитал Саша.

– , – добавил Паша.

– , – сказал Саша.

– , – закончил счёт Паша.

– Молодцы! – похвалил ребят Электроша. – А теперь посмотрите на остатки. Какие числа у вас получились в остатках?

– Число 0, число 1 и число 2, – ответили ребята.

– Запомните! – сказал Электроша. – Остаток всегда должен быть меньше делителя. Если же остаток больше или равен делителю, то деление выполнено неправильно.

– Вернёмся к нашим равенствам. Посмотрите, в третьем и шестом равенствах в остатках мы получили 0. В таких случаях говорят, что при делении числа 15 на число 3 остаток равен 0 и при делении числа 18 на число 3 остаток равен 0. Также можно сказать, что число 15 делится нацело на число 3 и число 18 делится нацело на число 3.

– А теперь, ребята, давайте посмотрим, как вы всё поняли, и выполним несколько заданий.

Задание первое: заполните таблицу:

Решение: в первой строчке нам нужно записать остатки от деления числа 11 на 2, на 5 и на 10. При делении на 2 в остатке получим 1. При делении на 5 в остатке будет 1. И при делении на 10 тоже получим в остатке 1.

В следующей строчке нужно записать остатки от деления числа 29 на 2, на 5 и на 10. При делении на 2 в остатке будет 1. При делении на 5 в остатке получим 4. А при делении на 10 в остатке будет 9.

И в последней строчке нам нужно записать остатки от деления числа 42 на 2, на 5 и на 10. При делении на 2 в остатке получим 0. При делении на 5 в остатке будет 2. И при делении на 10 в остатке тоже будет 2.

Следующее задание: найдите делимое:

а) неполное частное , делитель , остаток ;

б) неполное частное , делитель , остаток ;

в) неполное частное , делитель , остаток .

Решение: в первом пункте неполное частное равно 18, делитель – 47, а остаток – 22. Мы знаем, что делимое равно произведению делителя и неполного частного, сложенному с остатком. Тогда наше делимое равно 868.

В следующем пункте неполное частное равно 103, делитель – 58, а остаток – 33. Воспользуемся нашей формулой. Посчитаем и получим, что делимое равно 6007.

И в последнем пункте неполное частное равно 0, делитель – 65, а остаток – 50. Подставим данные в формулу. Посчитаем и получим, что делимое равно 50.

– Ребята, вы отлично справляетесь с заданиями! – с радостью сказал Электроша. – А значит, вы обязательно справитесь с моей непростой задачей.

– Итак, если бы Вася купил 9 ручек, то у него осталось бы 76 рублей, а если бы 14 ручек, то не хватило бы 29 рублей. Сколько денег было у Васи?

Решение: обозначим искомое число буквой А, цену одной ручки переменной х. Тогда из условия задачи можем составить следующие выражения: ;  .

Так как наше искомое число А одно и то же как в первом, так и во втором случае, то можем приравнять правые части наших равенств: . Упростим равенство: . Получим, . Решим уравнение: . Получим, что  . То есть цена одной ручки 21 рубль. Подставим это число в первое равенство: . Посчитаем. И получаем, что 265 рублей было у Васи.