Меню
Видеоучебник
Видеоучебник  /  Алгебра  /  11 класс  /  Алгебра 11 класc  /  Свойства корня n - степени

Свойства корня n - степени

Урок 3. Алгебра 11 класc

На этом уроке мы формулируем и доказываем свойства корня n-ой степени из неотрицательного числа, в случае натурального n. Рассматриваем примеры на использование этих свойств.

Конспект урока "Свойства корня n - степени"

Вопросы занятия:

·     сформулировать и доказать свойства корня n-ой степени из неотрицательного числа, в случае натурального n;

·     рассмотреть примеры использования этих свойств на примерах.

Материал урока

Прежде чем перейти к изучению нового материала, давайте повторим основные понятия, с которыми мы познакомились на предыдущих уроках.

Корнем n-ой степени из неотрицательного числа a называют такое неотрицательное число, при возведении которого в степень n получается число а.

Корнем нечётной степени n-ой из отрицательного числа а называют такое отрицательное число, при возведении которого в степень n получается а.

Обозначают:

Число а – это подкоренное число, число nпоказатель корня.

На сегодняшнем уроке мы рассмотрим основные свойства операции извлечения корня n-ой степени.

Итак, первое свойство формулируется следующей теоремой.

Теорема 1.

Корень n-ой степени (где n = 2, 3, 4, …) из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней n-ой степени из этих чисел.

Доказательство.

Введём следующие обозначения:

Нам надо доказать, что для неотрицательных чисел x, y, z выполняется равенство x = yz.

Из определения корня n-ой степени из неотрицательного числа мы знаем:

После замены в равенстве чисел a, b, произведения ab на соответствующие им выражения, получим, что:

Что и требовалось доказать.

Очевидно, что теорема остаётся справедливой и для случая, когда подкоренное выражение представляет собой произведение более чем двух неотрицательных чисел.

Рассмотрим следующее свойство.

Сформулируем теорему.

Теорема 2.

Если a ≥ 0, b>0 и n натуральное число, n > 1, то справедливо равенство:

Доказательство.

Доказывать это свойство мы будем аналогично предыдущему. Введём обозначения.

Используя определение корня n-ой степени из неотрицательного числа, можно записать:

Получим:

Что и требовалось доказать.

Давайте рассмотрим несколько примеров.

Пример.

Пример.

Рассмотрим ещё одно свойство корня n-ой степени из неотрицательного числа.

Теорема 3.

Если a ≥ 0, k – натуральное число и n – натуральное число, n > 1, то справедливо равенство:

Другими словами, чтобы возвести корень в натуральную степень достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение.

Доказательство.

Эта теорема является следствием теоремы 1. Если k = 3, то получим:

Точно так же можно рассуждать в случае любого другого натурального значения показателя k.

Рассмотрим ещё одно свойство.

Теорема 4.

Если a ≥ 0, k – натуральное число и n – натуральное число, n > 1, то справедливо равенство:

Доказательство этого свойства вы можете провести самостоятельно, оно аналогично доказательству первой и второй теоремы.

Мы с вами научились перемножать, делить, возводить в степень и извлекать корень из корней n-ой степени из неотрицательного числа. А как же складывать и отнимать такие корни? Никак. Их нельзя просто так складывать и вычитать. Надо преобразовывать каждый корень, а затем, если это возможно, складывать полученные результаты.

Рассмотрим это на примере.

Пример.

Рассмотрим ещё одно свойство корней n-ой степени из неотрицательных чисел.

Теорема 5.

Если показатели корня и степени подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится.

Например.

Доказательство.

Введём некоторые обозначения:

Тогда по определению корня n-ой степени из неотрицательного числа, можно записать:

Возведём обе части последнего равенства в одну и ту же степень p, получим:

Итак, получили:

Что и требовалось доказать.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример.

Пример.

Пример.

Пример.

Давайте запишем свойства корней энной степени из неотрицательного числа ещё раз:

Обратите внимание, что мы рассматривали с вами свойства корней n-ой степени только из неотрицательных чисел. Потому что корень n-ой степени из отрицательного числа имеет смысл только при нечётных n. Для таких значений показателей корня рассмотренные свойства корней верны и в случае отрицательных подкоренных выражений.

Рассмотрим пример.

0
14267

Комментарии 0

Чтобы добавить комментарий зарегистрируйтесь или на сайт