Скалярное произведение в координатах

На прошлых занятиях к уже известным действиям над векторами, а именно сложению, вычитанию и умножению вектора на число, мы добавили скалярное умножение векторов.

Мы говорили, что результатом первых трёх действий является некоторый вектор, а вот результатом скалярного умножения векторов — число.

Причём скалярное произведение равно 0, если хотя бы один из векторов нулевой. В случае, когда оба вектора ненулевые, скалярное произведение может принимать положительное значение, если угол между векторами острый, отрицательное значение, если угол между векторами тупой. Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Вы знаете, что каждый вектор имеет свои координаты. В связи с этим ранее нами были получены правила, позволяющие выражать координаты вектора, представленного в виде алгебраической суммы данных векторов с известными координатами.

Так каждая координата вектора суммы равна сумме соответствующих координат данных векторов.

,

Каждая координата вектора разности двух векторов равна разности соответствующих координат данных векторов.

,

И каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующих координат данного вектора на это число.

Понятно, что и скалярное произведение векторов можно выразить некоторым образом через координаты данных векторов.

Теорема. В прямоугольной системе координат скалярное произведение векторов  и  выражается формулой:

Доказательство.

,

,

,

, , то

,

Что и требовалось доказать.

Скалярное произведение векторов равно сумме произведений их соответствующих координат.

Выполним задание, где применим эту формулу.

Задача. Найти скалярное произведение векторов , , , если , , .

Решение.

Получается, что, зная координаты векторов, мы можем выяснить, перпендикулярны они или нет.

И в связи с изученной сегодня формулой, можно записать следствие из теоремы.

Следствие 1. Ненулевые векторы  и  перпендикулярны тогда и только тогда, когда .

Какие из данных векторов являются перпендикулярными для вектора ?

Для этого сумма произведений соответствующих координат векторов должна быть равна нулю.

Составим такие выражения для вектора с каждым из векторов ,   и .

Проверим пары векторов.

Мы получили, что только два вектора,  и , являются перпендикулярными вектору .

А теперь рассмотрим ещё одно следствие из теоремы.

Следствие 2. Косинус угла  между ненулевыми векторами  и  выражается формулой: .

Действительно, из формулы скалярного произведения

.

Найти косинусы углов между векторами , , .  Если , , , , , .

Запишем формулу косинуса угла между векторами

Так мы рассмотрели примеры вычисления косинуса угла между векторами по их координатам.

А теперь выполним такое задание.

Задача. Определить, при каких значениях переменной  .

,

,

,

,

Решение.

По следствию, записанному сегодня, можно записать, что для того, чтобы векторы  были перпендикулярны, сумма произведений их координат должна равняться нулю.

В каждом из этих пунктов мы определили значение переменной x, при котором векторы будут перпендикулярны.

Задача. Доказать, что треугольник с вершинами ,  и  тупоугольный и найти косинус тупого угла.

Решение.

Нужно доказать, что треугольник с вершинами А, B и C тупоугольный и найти косинус тупого угла.

В нашем треугольнике ABC три угла. Чтобы доказать, что он тупоугольный достаточно найти косинус каждого угла и проанализировать его величину.

Если косинус одного из углов окажется меньшим нуля, то тем самым мы докажем, что данный угол тупой, а треугольник — тупоугольный.

Мы умеем находить косинус угла между векторами по их координатам.

Чтобы воспользоваться изученной формулой косинуса угла между векторами, нужно знать их координаты.

Найдём их как разности соответствующих координат конца и начала вектора.

 острый

 острый

 тупой

Тем самым мы доказали, что треугольник ABC — тупоугольный, и нашли косинус тупого угла.

Что и требовалось доказать.

Ответ: .

Подведём итоги урока.

Сегодня мы с вами получили формулу скалярного произведения векторов в координатах.

А также сформулировали следствия из данной теоремы.

Первое из них гласит, что ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений их соответствующих координат равна нулю.

Второе следствие позволяет находить косинус угла между векторами через их координаты.