Вам уже известно определение скалярного произведения векторов и правило его вычисления.
Кроме этого вы знаете, что скалярное произведение можно находить ещё и в координатах.
Сегодня будем говорить о свойствах скалярного произведения векторов.
Запишем
первое свойство. Скалярный квадрат всегда является числом
неотрицательным .
Действительно, ведь скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. А значит, он больше либо равен нулю.
Причём скалярный квадрат положителен, если вектор ненулевой, и равен нулю, если вектор нулевой.
Второе
свойство называют переместительным законом. Скалярное
произведение векторов равно
скалярному произведению векторов
:
.
Пользуясь определением скалярного произведения, это не трудно доказать.
Что и требовалось доказать.
Третьим
свойством запишем распределительный закон .
,
,
Что и требовалось доказать.
Четвёртым
свойством запишем сочетательный закон .
,
;
Что и требовалось доказать.
Итак, мы доказали четыре свойства скалярного произведения векторов. Рассмотрим несколько задач, в которых можно применить данные свойства.
Задача.
Найти
значение выражений, если ,
,
.
а)
б)
в)
г)
Решение.
а)
б)
в)
г)
Задача.
Найти ,
если
,
.
,
,
,
.
Решение.
А теперь рассмотрим геометрические задачи, которые решаются с применением скалярного произведения векторов.
Задача.
Найти величину в
,
если
,
,
.
Решение.
Ответ:
.
Задача.
квадрат,
где
середина
,
а
середина
.
Доказать, что
.
Доказательство.
,
,
Итак, найдём каждую координату данных векторов как разность соответствующих координат их конца и начала.
Найдём скалярное произведение этих векторов.
Что и требовалось доказать.
Подведём итоги нашего урока.
Сегодня Вы познакомились со свойствами скалярного произведения векторов. Мы рассмотрели примеры их применения при выполнении различных заданий. В том числе убедились, что скалярное произведение векторов иногда очень удобно применять при решении геометрических задач.