Измерительные работы

Прежде чем приступить к изучению нового материала, давайте вспомним, как вычисляется площадь треугольника, повторим теорему косинусов и синусов, расширенную теорему синусов.

Формула для вычисления площади треугольника:

Теорема косинусов:

Теорема синусов:

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Расширенная теорема синусов:

Вспомним с помощью каких теорем можно решить треугольник, если известны 3 его элемента.

Тригонометрические формулы очень часто используются на практике для проведения различных измерительных работ на местности. Они даже были введены для проведения измерительных работ.

Появились эти понятия тогда, когда стало необходимым вычислить высоту дерева, не залезая на него. Пусть наблюдатель стоит в точке A. Он может измерить расстояние AC до дерева, он может измерить угол α, под которым видна вершина дерева. Тогда высоту дерева можно заменить отрезком BC.

Получили прямоугольный треугольник (поскольку мы принимаем, что дерево стоит перпендикулярно земле). Обозначим сторону AC прямоугольного треугольника за b, неизвестную нам высоту дерева за x, а неизвестное нам расстояние до вершины за y. Как же найти неизвестные величины? Возьмем дерево известной высоты, и поместим его в треугольник ABC. Обозначим высоту дерева B₁C₁, отрезок AC₁ как b₁, а b₁ как c₁

Рассмотрим треугольник AB₁C₁ и ABC.

Таким образом, нам удалось не влезая на дерево определить его высоту и расстояние от наблюдателя до вершины дерева. Так и были введены понятия тангенс и косинус.

Если же основание предмета недоступно, например, дерево растет в труднодоступном месте.

Тогда поступают так: на прямой, проходящей через основание b дерева, отмечают точки C и D на определенном расстоянии a друг от друга и измерим углы ACB и угол ADC. Обозначим угол ACB за α, а угол ADB за β.

Рассмотрим треугольник ABC. Это прямоугольный треугольник.

Следующей задачей, в которой тригонометрические функции используются для измерительных работ мы рассмотрим задачу на измерение расстояния до недоступной точки.

Пусть нам необходимо найти расстояние до дерева, которое растет на противоположном от нас берегу реки.

Раньше похожие задачи мы решали с помощью подобия. Сегодня мы решим эту задачу с помощью тригонометрии. Обозначим основание дерева точкой C, точку, в которой стоит наблюдатель – точкой А. На этом берегу реки выберем точку B и измерим длину отрезка AB. Затем с помощью астролябии – прибора для измерения углов – измерим углы А и B.

Пусть эти углы равны соответственно α и β. Рассмотрим треугольник ABC.

Задача. Пусть наблюдатель находится на расстоянии  от башни, высоту которой хочет определить. Основание башни наблюдатель видит под углом  к горизонту, а вершину – под углом  к горизонту. Необходимо найти длину башни.

Решение.

Для простоты решения задачи, обозначим башню отрезком BC. А эту точку обозначим за А. Из точки А проведем высоту к стороне BC. Обозначим точку пересечения за D. Очевидно, что длина высоты будет равна 40 метрам.

Ответ: .

Задача. Вася и Петя решили измерить ширину реки. Они отметили на одном берегу у кромки воды точку , через  от нее отметили точку . Дерево, растущее на другом берегу у кромки воды они отметили за . Измерив  и , оказалось, что , а . Как им определить ширину реки?

Решение.

Для того, чтобы мальчики могли определить ширину реки, решим треугольник ABC. Ширина реки – длина высоты CD. Угол C равен 100°. По теореме синусов найдем длину стороны AC. Синусы соответствующих углов вычислим с помощью калькулятора.

Ответ: .

Задача. На горе растет дерево, высота которого . У подножья горы располагается дом. Этот дом виден с вершины дерева под углом  к горизонту, а если смотреть на этот дом у основания дерева, то мы увидим его под углом  к горизонту. Надо определить высоты горы.

Решение.

Ответ: .

Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы рассмотрели два основных типа измерительных задач: задачи на определение высоты предмета и задачи на определения расстояния до недоступной точки.