Знаки синуса, косинуса и тангенса угла

Вспомним, что синусом угла  называется ордината точки , полученной поворотом точки  вокруг начала координат на угол .

Косинусом угла  называется абсцисса точки , полученной поворотом точки  вокруг начала координат на угол .

Тангенсом угла  называется отношение синуса угла  к его косинусу.

Котангенсом угла  называется отношение косинуса угла  к его синусу.

Также напомним, что оси координат делят плоскость на четыре четверти.

А сейчас давайте выясним, какие знаки имеют синус и косинус в зависимости от того, в какой четверти единичной окружности располагается точка.

Пусть на координатной плоскости изображена единичная окружность с центром в начале координат. Точка  совершает поворот против часовой стрелки на угол  и оказывается в точке , которая расположена в первой четверти. Для точек, расположенных в первой четверти, абсцисса и ордината положительны, а значит,  и  будут иметь положительные значения. То есть  и , если .

Пусть точка  совершает поворот против часовой стрелки и оказывается в точке , которая расположена во второй четверти. Для точек, которые расположены во второй четверти, абсциссы отрицательны, а ординаты положительны, а значит,  будет принимать отрицательные значения, а  – положительные значения. То есть  и  при .

Теперь пусть точка  совершает поворот против часовой стрелки и оказывается в точке , которая расположена в третьей четверти. Для точек, которые расположены в третьей четверти, абсциссы и ординаты отрицательны, а значит,  и  будут принимать отрицательные значения. То есть  и , если .

И пусть точка  совершает поворот против часовой стрелки и оказывается в точке , которая расположена в четвёртой четверти. У точек, которые расположены в четвёртой четверти, абсциссы положительны, а ординаты отрицательны, а значит,  будет принимать положительные значения, а  – отрицательные значения. То есть  и  при .

При этом важно помнить, что при повороте точки против часовой стрелки на угол, больший , а также при повороте точки по часовой стрелке на любой угол, знаки синуса и косинуса определяются тем, в какой четверти окажется точка.

Давайте определим знаки синуса и косинуса углов: , , , .

Итак, . Тогда углу  соответствует точка единичной окружности, расположенная в третьей четверти. Мы с вами выяснили, что в третьей четверти синус и косинус принимают отрицательные значения. Поэтому  и .

. А значит, углу в  соответствует точка единичной окружности, расположенная во второй четверти. Мы выяснили, что во второй четверти синус принимает положительные значения, а косинус – отрицательные. Следовательно, , а .

Углу  соответствует точка единичной окружности, расположенная в четвёртой четверти. В четвёртой четверти синус принимает отрицательные значения, а косинус – положительные. Следовательно, , .

И последний угол – угол . Запишем , . Тогда можем сказать, что повороту точки с координатами  на угол д соответствует точка, расположенная в первой четверти. Поэтому  и .

Давайте выясним, какие знаки имеет тангенс. Мы знаем, что .

Если  и  имеют одинаковые знаки, то . Если же  и  имеют разные знаки, то .

Итак, в первой четверти синус и косинус принимают положительные значения, то есть имеют одинаковые знаки, а значит, тангенс в первой четверти также принимает положительные значения.

Во второй четверти синус принимает положительные значения, а косинус – отрицательные, то есть они имеют разные знаки, а значит, тангенс принимает отрицательные значения во второй четверти.

В третьей четверти синус и косинус принимают отрицательные значения, то есть имеют одинаковые знаки. Следовательно, тангенс в третьей четверти принимает положительные значения.

В четвёртой четверти синус принимает отрицательные значения, а косинус – положительные, они имеют разные знаки. Следовательно, в четвёртой четверти тангенс принимает отрицательные значения.

А какие знаки имеет котангенс? . А значит, если  и  имеют одинаковые знаки, то . Если  и  имеют разные знаки, то . Следовательно, значения котангенса имеют те же знаки, что и значения тангенса.

Давайте определим знаки тангенса и котангенса углов:  и .

. Тогда углу  соответствует точка единичной окружности, расположенная во второй четверти. Мы с вами выяснили, что во второй четверти тангенс и котангенс принимают отрицательные значения. Поэтому  и .

. А значит, углу, равному единице, соответствует точка единичной окружности, расположенная в первой четверти. В первой четверти тангенс и котангенс принимают положительные значения. Следовательно,  и .

А сейчас давайте выполним несколько заданий.

Задание первое. Определите знак числа , если  равняется: , .

Решение.

Второе задание. Определите знак числа , если  равняется: , .

Решение.

И ещё одно задание. Определите знак числа , если  равняется: , .

Решение.