Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла

Вспомним, что синусом угла  называется ордината точки , полученной поворотом точки  вокруг начала координат на угол .

Косинусом угла  называется абсцисса точки , полученной поворотом точки  вокруг начала координат на угол .

Тангенсом угла  называется отношение синуса угла  к его косинусу.

Котангенсом угла  называется отношение косинуса угла  к его синусу.

Итак, выясним зависимость между синусом и косинусом.

Пусть на координатной плоскости изображена единичная окружность с центром в начале координат. Точка  совершает поворот против часовой стрелки на угол  и оказывается в точке .

По определению синуса и косинуса можно сказать, что абсцисса точки  равна косинусу угла поворота, то есть , а ордината точки  равна синусу угла поворота, то есть . Тогда можем записать, что точка .

Теперь вспомним, что уравнение единичной окружности имеет вид: . Так как точка  принадлежит нашей единичной окружности, то её координаты удовлетворяют этому уравнению. А значит, можем записать: .

А как называется это равенство? Это равенство называют основным тригонометрическим тождеством. Оно выполняется при любых значениях . Основное тригонометрическое тождество часто используется при преобразовании тригонометрических выражений.

Давайте из этого тождества выразим . Итак, перенесём  в правую часть равенства: . Извлекаем квадратный корень из обеих частей равенства: , , если  – угол I или II четверти. И , если  – угол III или IV четверти.

В общем, можем записать так: .

Теперь выразим . Перенесём  в правую часть равенства: . Извлекаем квадратный корень из обеих частей равенства: , . , если  – угол I или IV четверти. , если  – угол II или III четверти.

В общем, можем записать так:    .

Вот таким образом мы получили равенства, которые связывают значения синуса и косинуса одного и того же угла.

Давайте вычислим , если  и . Воспользуемся формулой . Так как а, то есть угол альфа – это угол III четверти, то . Поэтому в формуле перед корнем нужно поставить знак «»: . Тогда подставим значение  в формулу: . Выполним вычисления: .

Теперь давайте вычислим , если  и . Воспользуемся формулой . Так как , то есть угол альфа – это угол IV четверти, то .

Поэтому в формуле перед корнем нужно поставить знак «»? Верно. Запишем формулу: . Подставим значение  в формулу: . Выполним вычисления: .

Ну а теперь выясним зависимость между тангенсом и котангенсом. По определению , а . Перемножим почленно эти равенства: . И получим:  Выразим из этого равенства  и получим, что . И выразим  и получим, что . Важно отметить, что так как на нуль делить нельзя, то  и , то есть , .

Вычислим , если . Подставляем в формулу  значение котангенса: . Вычисляем и получаем .

Вычислим , если  и . По формуле  найдём . Так как , то есть угол  – это угол II четверти, то . Поэтому в формуле перед корнем нужно поставить знак «»: . Подставим значение . Выполним вычисления: .

Теперь найдём значение . Подставим значения  и . Выполним вычисления: .

И нам осталось найти зависимость между тангенсом и косинусом. Для этого мы с вами разделим обе части основного тригонометрического тождества  на : . При этом  не должен равняться нулю, то есть , . Преобразуем левую часть равенства: . Первое слагаемое в левой части можем записать как , второе – как : .

Эта формула и показывает зависимость между тангенсом и косинусом? Да. Из этой формулы мы можем выразить тангенс через косинус и косинус через тангенс.

Давайте вычислим , если  и . Выразим  из формулы : . Подставим значение : . Выполним вычисления:  . , то есть это угол II четверти. Тангенс во второй четверти принимает отрицательные значения. Поэтому .

И вычислим , если  и . Из формулы  выразим : . Подставим значение : . Выполним вычисления: . У нас . Косинус в III четверти принимает отрицательные значения. Поэтому .

А сейчас выполним несколько заданий.

Задание первое. Найдите ,  и , если  и .

Решение.

Задание второе. Найдите ,  и , если  и .

Решение.