Определение синуса, косинуса и тангенса угла

Вспомним, как в курсе геометрии были введены синус, косинус и тангенс угла из промежутка от  до . На координатной плоскости построим полуокружность с центром в начале координат и единичным радиусом, расположенную в первой и второй четвертях. Такую полуокружность называют единичной полуокружностью.

Затем из точки  проведём луч , который пересекает нашу полуокружность в точке . Угол между лучом  и положительным направлением оси  обозначим . При этом, если луч  совпадает с положительным направлением оси , то считают, что угол .

Пусть угол  острый. Опустим из точки  перпендикуляр  на ось  и получим прямоугольный треугольник . Тогда из этого треугольника имеем: ; .  – это радиус единичной полуокружности, а значит, равняется .  равняется абсциссе точки , то есть .  равняется ординате точки , то есть . Подставим эти значения в выражения синуса и косинуса и получим, что , .

А если угол  не является острым, то как определяются синус и косинус этого угла?

Если угол альфа прямой, тупой, развёрнутый или равен нулю, то синус и косинус также определяются по формулам: , .

Таким образом, для любого угла альфа из промежутка от  до  синусом угла  называется ордината точки , а косинусом угла  – абсцисса точки .

При этом не забудем отметить, что так как координаты  и  точек единичной полуокружности удовлетворяют неравенствам , а , то для  из промежутка от  до  справедливы неравенства ; .

Тангенсом угла , причём , называется отношение  к : . Отметим, что , так как , а в формуле знаменатель не должен обращаться в нуль.

Так как же определяются синус, косинус и тангенс произвольного угла?

Запомните! Синусом угла  называется ордината точки , полученной поворотом точки  вокруг начала координат на угол . Обозначают: .

Косинусом угла  называется абсцисса точки , полученной поворотом точки  вокруг начала координат на угол . Обозначают: .

Причём угол  может выражаться и в градусах, и в радианах.

Давайте найдём значения синуса и косинуса угла , то есть угла . При повороте точки  на угол  получаем точку . Ордината полученной точки равна , а, следовательно, . Абсцисса полученной точки равна , а, следовательно, .

Отметим, что приведённые выше определения синуса и косинуса произвольного угла в случае, если угол принадлежит промежутку от  до , совпадают с определениями синуса и косинуса из курса геометрии, которые мы с вами повторили в начале урока. Так, например, , .

А давайте найдём значения синуса и косинуса угла не из промежутка от  до .

Найдём  и . Итак, при повороте точки  на угол  мы осуществим поворот по часовой стрелке и окажемся в точке . Ордината полученной точки равна , следовательно, с. Абсцисса полученной точки равна , следовательно, .

Сейчас давайте решим уравнение . Решить это уравнение означает найти все углы, синус которых равен . Ординату, равную , имеет точка единичной окружности . Эта точка получается из точки  поворотом на угол , на угол , на угол  и так далее. А также на угол , на угол  и так далее.

При этом , ,  ,

, .

Следовательно,  при , где  – это любое целое число.

Вы знаете, что множество целых чисел обозначается буквой . Обозначить то, что число  принадлежит целым числам можно вот таким образом: . Читают:  принадлежит . Тогда ответ к нашей задаче можно записать так: , .

Решим уравнение . Абсциссу, равную , имеет точка . Эта точка получается из точки  поворотом на  рад, то есть точка остаётся на своём месте; на угол , на угол  и так далее. А также на угол ,  и так далее.

При этом  рад мы можем записать как , , , , .

Следовательно,  при , .

А что называют тангенсом произвольного угла?

Запомните! Тангенсом угла  называется отношение синуса угла  к его косинусу. Обозначают: .

Таким образом, можем записать, что .

Иногда используют котангенс угла , который равен отношению косинуса угла  к синусу угла : . При этом .

Давайте найдём  и .

. Подставим значения синуса и косинуса: . Выполним вычисления и в результате получим .

. Подставим значения косинуса и синуса: . Выполним вычисления и получим .

Также . , а, следовательно, .

Важно помнить, что  и  определены для любого угла , а их значения заключены в промежутках от  до , так как координаты точек единичной окружности заключены в промежутках от  до .

А вот  определён только для тех углов, для которых , так как делить на нуль нельзя. Найдём углы, косинус которых равен нулю. Итак, абсциссу, равную , имеет точка  и . Эти точки получаются поворотом точки  на углы , ,  и так далее. А также на углы ,  и так далее.

Следовательно,  при , .

 определён для любых углов, кроме , .

А для каких углов определён ?  определён только для тех углов, для которых . Найдём углы, синус которых равен нулю. Итак, ординату, равную нулю, имеет точка  и точка . Эти точки получаются поворотом точки  на углы , , ,  и так далее. А также на углы , ,  и так далее.

Следовательно,  при , .

Тогда  определён для любых углов, кроме , .

На следующем слайде приведена таблица значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса, с которыми вы будете встречаться чаще всего:

Найдём значение выражения .

Воспользуемся только что приведённой таблицей. Подставим значения в наше выражения: . Теперь выполним вычисления и в результате получим .

Отметим, что значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов, которых нет в этой таблице, можно найти с помощью инженерного микрокалькулятора или по четырёхзначным математическим таблицам Брадиса.