Поворот точки вокруг начала координат

Прежде, чем приступить к рассмотрению новой темы вспомним, что каждой точке прямой ставится в соответствие некоторая точка окружности.

Также вспомним, что центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, называется углом в один радиан.

Вспомним формулу перехода от радианной меры к градусной рад  и формулу перехода от градусной меры к радианной  рад.

А теперь на координатной плоскости рассмотрим окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Такую окружность называют единичной окружностью.

Введём понятие поворота точки единичной окружности вокруг начала координат на угол  рад, где  – это любое действительное число. Отметим точку . Эта точка расположена на окружности.

Пусть . Представим, что точка, двигаясь по единичной окружности от точки  против часовой стрелки, прошла путь длиной . Конечную точку пути обозначим .

В таком случае будем говорить, что точка  получена из точки  путём поворота на угол  рад вокруг начала координат.

Теперь пусть . В этом случае поворот на угол  рад будем совершать по часовой стрелке. Точка пройдёт путь длиной модуль . Конечную точку пути обозначим .

Если же , то точка остаётся на месте.

Давайте рассмотрим некоторые примеры поворотов точки  на некоторый угол.

Итак, при повороте точки  на угол  рад мы совершаем движение против часовой стрелки и получаем точку .

А при повороте точки  на угол  рад мы двигаемся по часовой стрелке и получаем точку .

При повороте точки  на угол  рад мы осуществим поворот против часовой стрелки на  рад трижды и окажемся в точке .

При повороте точки  на угол  рад мы осуществим поворот по часовой стрелке на  рад трижды и окажемся в точке .

При повороте точки  на угол  рад мы осуществим поворот по часовой стрелке и окажемся в точке .

При повороте точки  на угол  рад мы осуществим поворот против часовой стрелки и снова окажемся в точке .

Ранее в курсе геометрии вы рассматривали углы от  до . Теперь, используя поворот точки единичной окружности вокруг начала координат, можно рассматривать углы, которые больше , а также отрицательные углы.

А задавать угол поворота надо в градусах или радианах? Угол поворота можно задавать и в градусах, и в радианах. Так, например, поворот точки  на угол  означает то же, что и поворот на . А поворот на  – это поворот на .

Далее приведена таблица поворотов на наиболее часто встречающиеся углы, выраженные в радианной и градусной мере:

Обратите внимание, что при повороте на , то есть на , точка возвращается в своё первоначальное положение.

А где окажется точка при повороте на ? При повороте на , то есть на , точка также вернётся в своё первоначальное положение.

Давайте рассмотрим пример поворота на угол, который больше . Например, на угол . Представим . Получается, что при повороте на этот угол точка  совершает три полных оборота против часовой стрелки и ещё проходит путь .

Теперь рассмотрим пример поворота на угол , то есть на угол меньший . Представим . В этом случае точка совершает три полных оборота по часовой стрелке и ещё проходит путь  в этом же направлении.

Получается, что при повороте точки  на угол  получаем ту же точку, что и при повороте на угол , а при повороте точки  на угол  получаем ту же точку, что и при повороте на угол .

Вообще, если угол  можно представить как , где  – целое число, то при повороте на угол  получаем ту же самую точку, что и при повороте на угол .

Таким образом, можем сделать вывод, что каждому действительному числу  соответствует единственная точка единичной окружности, получаемая поворотом точки  на угол  рад.

Однако одной и той же точке  единичной окружности соответствует бесконечное множество действительных чисел , где  – целое число, задающих поворот точки  в точку .

Найдём координаты точки, полученной поворотом точки  на угол . Представим . Тогда при повороте точки на угол  мы получим ту же самую точку, что и при повороте на угол , то есть точку с координатами .

Найдём координаты точки, полученной поворотом точки  на угол . Представим . Тогда при повороте на  мы получаем ту же самую точку, что и при повороте на , то есть точку с координатами .

И найдём координаты точки, полученной поворотом точки  на угол .

Для этого выполним поворот точки против часовой стрелки на угол , то есть на , и получим точку .  Опустим из неё перпендикуляр  на ось  и рассмотрим прямоугольный треугольник . Так как координаты точки  численно равны длинам катетов этого треугольника, то нам остаётся найти длины  и .

Гипотенузой этого треугольника является отрезок . Причём , так как это радиус нашей единичной окружности. Угол  равен , так как мы осуществляли поворот на , то есть на .

А мы ведь знаем из геометрии, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в , равен половине гипотенузы. Значит, катет .

Теперь вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов (). Запишем её для нашего треугольника: . Выразим неизвестный нам катет : . Подставим значения  и : . Выполним вычисления и в результате получим .

Таким образом, можем записать, что точка  имеет абсциссу, равную длине катета , то есть , и ординату, равную длине катета , то есть .

А сейчас давайте выполним несколько заданий.

Задание первое. Найти координаты точки, полученной поворотом точки  на угол а) ; б) ; в) .

Решение.

И решим ещё одно задание. Найдите число , где , и натуральное число , такие, чтобы выполнялось равенство , если а) ; б) .

Решение.