Определение ГП. Формула n-го члена ГП

Определение:

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

q - знаменателем геометрической прогрессии.

Для задания геометрической прогрессии достаточно задать её первый член и значение знаменателя q.

Пример.

Найти пять первых членов геометрических прогрессий.

1.                   

Получим геометрическую прогрессию:

2.                 

Получим геометрическую прогрессию:

3.                  

Получим геометрическую прогрессию:

Каждый следующий член геометрической прогрессии получают из предыдущего умножением на q:

Получили формулу n - ого члена геометрической прогрессии.

Она позволит найти любой член геометрической прогрессии, зная её первый член и номер искомого члена.

Пример.

Найти 4 - ый, 7 - ой и n - ый члены геометрической прогрессии, если:

Найдём члены геометрической прогрессии:

Пример.

Найти 1 - й член геометрической прогрессии, если:

По формуле n - ого члена геометрической прогрессии запишем:

Решим уравнение:

Пример.

Найти знаменатель геометрической прогрессии q, если:

Запишем:

Подставим известные величины и найдём значение знаменателя геометрической прогрессии:

Пример.

Найти 3 - ий член геометрической прогрессии, если:

Нам не известны первый член и знаменатель геометрической прогрессии.

Но записав известные нам члены по формуле n - ого члена геометрической прогрессии, из полученных уравнений мы можем составить систему уравнений с двумя переменными:

Решим уравнение с одной переменной, получаем:

Найдём по формуле 3 - й член прогрессии:

Рассмотрим геометрическую прогрессию, состоящую из степеней числа 3.

Свойство геометрической прогрессии:

Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов.

Другими словами, любой член геометрической прогрессии равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов.

Например:

Признак:

Если в последовательности чисел, отличных от нуля, квадрат каждого члена, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов, то эта последовательность является геометрической прогрессией.

С теорией геометрической прогрессии связаны многие процессы на земле.

Пример.

На опытном участке леса ежегодный прирост древесины составляет 8 %. Какое количество древесины будет на этом участке через 6 лет, если первоначальное количество древесины равно 5000 метров кубических?

Составим математическую модель данной задачи:

Получили геометрическую прогрессию.

Запишем формулу n - ого члена геометрической прогрессии, и с её помощью найдём значение седьмого члена: