Формула суммы первых n членов ГП

Рассмотрим геометрическую прогрессию. Запишем сумму n первых членов геометрической прогрессии. Умножим обе части данного равенства на q:

Вычтем из полученного равенства равенство, задающее сумму n первых членов геометрической прогрессии и после приведения подобных членов получим формулу:

Можно расписать:

Получили формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии.

Пример.

Найти сумму первых 5 членов геометрической прогрессии, заданной её первым членом и знаменателем.

1.                 

Запишем формулу суммы первых пяти членов геометрической прогрессии с помощью формулы суммы n первых членов:

Подставим известные величины:

2.                   

Найдём сумму первых пяти членов данной геометрической прогрессии:

3.                Найти сумму первых 7 членов геометрической прогрессии, заданной словесно:

Получаем:

Запишем формулу нахождения суммы первых 7 членов данной геометрической прогрессии, подставим известные величины:

4.                Найти сумму первых 7 членов геометрической прогрессии, заданной словесно:

Получаем:

Запишем формулу суммы первых 7 членов. В ходе вычислений получаем:

5.                Найти сумму первых 8 членов геометрической прогрессии, если:

Для начала найдем значение первого члена:

Найдем сумму:

6.                Доказать, что последовательность является геометрической прогрессией, а затем найти сумму её первых n членов.

Рассмотрим первую последовательность:

Каждый следующий член, равен предыдущему члену, умноженному на x. По определению, эта последовательность является геометрической прогрессией. Получим:

Найдём сумму первых n членов геометрической прогрессии:

7.                Доказать, что последовательность является геометрической прогрессией, а затем найти сумму её первых n членов.

Получаем, что:

Так как геометрическая прогрессия обладает следующим свойством: квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов. Проверим выполнимость свойства:

Получаем верное равенство, то есть последовательность является геометрической.

Найдём сумму первых n членов: