Формула суммы первых n членов АП

Найти сумму первых 7 членов арифметической прогрессии, состоящих из положительных чётных чисел, записанных в порядке возрастания. Найдём значения этих членов:

Вычислим сумму:

Найти сумму первых n членов арифметической прогрессии.

Обозначим сумму:

Запишем ее в виде:

Сложим по компонентно два этих выражения:

Получаем, что каждая сумма равна:

Количество таких сумм равно n, запишем:

Разделив обе части формулы на 2, получаем формулу суммы:

Найти сумму первых 7 членов арифметической прогрессии, с помощью формулы.

Пример.

Найти сумму первых 100 членов арифметической прогрессии.

1.                В первом случае прогрессия задана :

Запишем формулу суммы первых ста членов:

Получили сумму 100 первых членов арифметической прогрессии.

2.                Найти сумму первых 100 членов арифметической прогрессии, заданной

рекуррентной формулой:

Для начала найдем значения первого и сотого членов:

Подставим известные величины в формулу суммы, получаем:

Пример.

1 способ. Найти сумму первых 34 членов арифметической прогрессии, если:

Запишем формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии. Подставив известные величины, получаем:

2 способ. Если формулу суммы первых n членов записать по формуле n - ого члена, то мы получим формулу суммы, которой можно воспользоваться, зная лишь первый член и разность арифметической прогрессии:

Найти сумму всех членов арифметической прогрессии с 16 по 58, включительно, если:

Запишем сумму:

Применив формулу суммы, найдем члены последовательности:

Найдём сумму всех членов:

Пример.

Найти сумму n первых членов арифметической прогрессии заданной формулой:

Запишем формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии:

Найдём  :

Также необходимо знать , так как не дано конкретное значение:

Сумма данной арифметической прогрессии равна:

Пример.

Найти сумму всех натуральных чисел кратных 5 и не превосходящих 265.

Представим множество всех натуральных чисел кратных пяти:

Такая последовательность является арифметической прогрессией.

Задача сводится к нахождению суммы некоторого количества первых членов арифметической прогрессии.

Определим, сколько членов данной арифметической прогрессии не превосходят 265.

Запишем формулу n члена данной геометрической прогрессии, подставим значения и преобразуем выражение в правой части равенства:

Решим неравенство:

Найдем сумму первых 53 членов арифметической прогрессии:

Пример.

Восхождение на вершину горы группа альпинистов осуществило за 7 дней, каждый день поднимаясь на некоторое одинаковое количество метров меньше, чем в предыдущий. Какова высота горы, если за третий день они поднялись на 1314 метров, а за шестой день - на 1164 метра.

Пусть в первый день альпинисты поднялись на высоту , за второй день -  и так далее. В условии сказано, что каждый день они поднимались на одинаковое количество метров меньше, чем в предыдущий. Это даёт нам понять, что множество  является арифметической прогрессией. При этом нам известны значения  и .

Чтобы узнать высоту горы, нам необходимо найти сумму первых семи членов данной арифметической прогрессии.

Построив математическую модель задачи, приступим к решению, запишем:

Из полученных уравнений составим систему, решим её способом подстановки:

Решив уравнение с одной переменной, найдём:

Найдем сумму первых 7 членов арифметической прогрессии:

Решили задачу практического содержания, применив теорию последовательностей, а именно арифметической прогрессии.

Пример.

Найти суммы 3 - ого и 5 - ого, а также 2 - ого и 6 - ого членов арифметической прогрессии, если:

Найдём значения членов арифметической прогрессии:

Вычислим их суммы:

Они равны между собой, а также и суммы номеров этих членов также равны.

Действительно, если суммы членов арифметической прогрессии равны, то, расписав каждый член по формуле энного члена и преобразовав полученное равенство, получаем, что должны быть равны суммы номеров этих членов.

Это утверждение является вторым свойством арифметической прогрессии.