Определение АП. Формула n-го члена АП

Рассмотрим последовательность:

Запишем рекуррентную формулу последовательности:

Последовательность:

Рассмотрим последовательность:

Рекуррентное задание последовательностей в общем виде можно записать так:

где d - некоторое число.

Определение:

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

Число d называют разностью арифметической прогрессии.

Если d >0, то последовательность чисел будет возрастать.

Если d =0, то все члены арифметической прогрессии равны друг другу.

Если d<0, то получаем убывающую последовательность.

Пример.

Выписать первых пять членов арифметической прогрессии, если:

Воспользуемся формулой из определения.

Для нахождения членов последовательности нужно предыдущий увеличить на число d:

Получили последовательность: 13, 16, 19, 22, 25.

Выписать пять первых членов арифметической прогрессии, где:

Получили последовательность: 70, 58, 46, 34, 22.

Пример.

Найти сотый член арифметической прогрессии. Если пользоваться определением, то нужно произвести большое количество ненужных вычислений.

Проанализировав полученные записи, можно записать:

Получили формулу n - ого члена арифметической прогрессии.

Пример.

Применив формулу, найти 3 - й, 52 - й и n - ый члены арифметической прогрессии, если:

Найдем члены последовательности, используя формулу:

Найти 13 - ый и n - ый члены арифметической прогрессии:

Зная два подряд идущих члена, не составит труда найти разность арифметической прогрессии:

Найдем члена арифметической прогрессии:

Формулы представляют собой линейную зависимость от номера n.

Формулу n - ого члена можно записать в виде:

Получаем, что любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой такого вида.

Последовательность, заданная формулой такого вида, является арифметической прогрессией.

Определить, какая последовательность является арифметической прогрессией:

Арифметическими прогрессиями являются последовательности, заданные формулами под номерами 1, 3 ,5 ,6, так как они являются линейными зависимостями от n.

Пример.

Найти 1 - ый член последовательности, если:

Применив формулу n - ого члена арифметической прогрессии, получим:

Найти разность арифметической прогрессии d, если:

Применив формулу n - ого члена арифметической прогрессии, получим:

Найти 1 - ый член и разность арифметической прогрессии, если:

Применив формулу n - ого члена арифметической прогрессии, получим систему уравнений с двумя неизвестными:

Подставив известные значения, решаем систему способом подстановки:

Определить, являются ли данные числа членами арифметической прогрессии:

Следовательно:

1.                Число 139. Найдем номер этого члена арифметической прогрессии по рекуррентной формуле:

Получили, что число 139 является членом данной арифметической прогрессии.

2.                Число 382. Найдём номер этого члена:

Данное число этому множеству не принадлежит, так как члены последовательности нумеруются с помощью множества натуральных чисел. Получаем, что число 382 не является членом данной арифметической прогрессии.

Свойство арифметической прогрессии:

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов.

Например:

Признак:

Если в последовательности каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов, то эта последовательность является арифметической прогрессией.

Рассмотрим конечную последовательность. Докажем, что она является арифметической прогрессией. Для этого нужно показать, что каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов.

Проверив все члены последовательности, начиная со второго, они равны среднему арифметическому предыдущего и последующего членов. Значит, данная последовательность является арифметической прогрессией.