Теорема о площади треугольника

Мы с вами уже знаем несколько формул для вычисления площади треугольника. Давайте вспомним их. Если мы знаем длину одной из сторон треугольника и длину высоты, проведенной к этой стороне, то площадь треугольника можно найти как половина произведения этих длин .

Например, найдем площадь треугольника, показанного на рисунке при h= 6, а a=5. Площадь этого треугольника .

Если треугольник прямоугольный, то его площадь находится как половина произведения катетов

Например, найдем площадь прямоугольного треугольника с катетами равными 4 и 9. Площадь .

Если нам известны длины всех сторон треугольника, то площадь можно вычислить по формуле Герона, где p – полупериметр треугольника.

.

Найдем, например, площадь треугольника со сторонами 13, 14 и 15 сантиметров. Полупериметр этого треугольника . Тогда площадь этого треугольника по формуле Герона
.

Сегодня на уроке мы с вами познакомимся еще с одной формулой, но сначала давайте вспомним формулу для координат произвольной точки А, расположенной в верхней полуплоскости.

Рассмотрим произвольный треугольник ABC со сторонами a, b, c и углами α, β, γ.

Докажем, что площадь треугольника вычисляется по формуле .

Расположим треугольник ABC в координатной плоскости так, чтобы точка C совпадала с началом координат, а точка B лежала на положительной полуоси Cx, а точка А имела положительную ординату, то есть располагалась в верхней полуплоскости.

Опустим из точки А высоту h. Площадь этого треугольника равна половине произведения стороны a на h. Координаты точки А равны
.

Высота h будет равна ординате точки А, то есть равна произведению длины стороны АC на синус угла γ, или .

Таким образом, мы доказали теорему. Сформулируем ее.

Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Нетрудно убедиться, что если с началом координат совместить точку А, точку C расположить на положительном полуоси Ax, а точку B расположить в верхней полуплоскости, то можно записать, что площадь треугольника .

Если же с началом координат совместить точку B, точку А расположить на положительной полуоси Bx, а точку C расположить в верхней полуплоскости, тогда площадь треугольника .

Нетрудно заметить, что формула для вычисления площади прямоугольного треугольника является частным случаем этой формулы. Рассмотрим прямоугольный треугольник. Применяя общую формулу для вычисления площади треугольника, получим, что площадь этого . Угол C – прямой, его синус равен 1, то есть площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов . Мы получили, уже известную нам формулу.

Решим несколько задач.

Задача. Найти площадь треугольника  если:

а) ,  ;  б) ,  ; 

в) ,  .

Решение.

Запишем формулу для вычисления площади треугольника.

а)

б)

в)

Поскольку 46 – не табличное значение, то можно оставить в таком виде. Или с помощью калькулятора найти приближенное значение синуса 46°. Тогда получим, площадь треугольника приблизительно равна 40,28 сантиметрам квадратным.

Задача. . Найти , если , .

Решение.

Теперь давайте рассмотрим параллелограмм ABCD.

Проведем диагональ АC. Эта диагональ делит параллелограмм на два треугольника. Легко увидеть, что эти треугольники равны по третьему признаку (стороны AB и CD, АD и BC равны по свойству сторон параллелограмма, АC – общая). Площадь треугольника ABC можно найти по формуле: . Площадь треугольника ACD можно найти по формуле: . Тогда площадь параллелограмма равна сумме площадей этих треугольников .

,  .

То есть, другими словами, площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.

И опять, как в случае с треугольником, формула для вычисления площади прямоугольника является частным случаем формулы для вычисления площади параллелограмма. Прямоугольник – параллелограмм, углы которого равны 90°.

Обратите внимание, что угол между сторонами параллелограмма можно записать так.

Задача. Найти площадь параллелограмма  если:

,  .

Решение.

Задача. Соседние стороны параллелограмма равны , . Какой угол должен быть между ними, чтобы площадь параллелограмма была наибольшей?

Решение.

Таким образом мы получили, что наибольшей будет площадь прямоугольника со сторонами a и b.

Задача. Найти площадь ромба, если его стороны равны , а один из углов равен .

Решение.

Ромб – параллелограмм, значит, для вычисления площади ромба мы можем использовать формулу для вычисления площади параллелограмма.

Задача. Площадь треугольника  равна . Сторона  в 2 раза больше стороны  . Найти .

Решение.

Подведем итоги урока:

Сегодня на уроке, мы вспомнили формулы для вычисления площади треугольника, а также познакомились с новой. Мы познакомились с формулой вычисления площади параллелограмма. Рассмотрели примеры применения этих формул.