Формулы для вычисления координат точки

Прежде чем приступить к изучению нового материала, давайте вспомним, что

Для любого угла  синусом угла  называется ордината  точки М,

а косинусом угла  – абсцисса  точки М.

Тангенсом угла  называется .

Котангенсом угла  называется .

 основное тригонометрическое тождество

Если , то:

Если , то:

Еще сегодня нам надо вспомнить о том, что координаты векторы равны разности соответствующих координат его конца и начала.

Координаты вектора  равны разности соответствующих координат его конца и начала : .

Еще вспомним лемму о коллинеарных векторах.

Лемма. Если векторы  и  коллинеарны и , то существует такое число , что .  

Рассмотрим задачу. Определить координаты точки А, которая расположена в верхней координатной полуплоскости.

Построим в этой полуплоскости единичную полуокружность. Соединим точку А с центром полуокружности и обозначим за М точку пересечения отрезка ОА с полуокружности. Координаты точки М (.

Определим координаты вектора , поскольку координаты точки О (0;0).

,  

С другой стороны,

Теперь давайте проанализируем знаки координат точки А.

Координаты точки зависят от величины отрезка ОА, (а это всегда положительное число), и от знака синуса и косинуса угла α. Синус произвольного угла из промежутка от 0 до 180 градусов находится в промежутке от 0 до 1, то есть принимает не отрицательные значения. Косинус угла может принимать значения от -1 до 1, то есть быть как положительным, так и отрицательным. Значит, можно записать, что ; ; .

Решим несколько задач.

Задача. Угол между лучом , пересекающим единичную полуокружность, и положительной полуосью равен . Найдите координаты точки , если:

а) ,  ;  б) ,  ;  в) ,  .

Решение.

а)  

б)   

в)  

Задача. Найти угол между лучом  и положительной полуосью , если:

а) ;  б) ;  в) ; г) .

Решение.

Запишем формулы для определения координат точки А.

а)

б)

в)

г)  

Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы вывели формулы для вычисления координат точки и рассмотрели, как они используются при решении задач.