Теорема синусов

Прежде чем приступить к изучению нового материала, давайте вспомним формулы для нахождения площади треугольника и параллелограмма.

Формулы для вычисления площади треугольника:

Формулы для вычисления площади параллелограмма:

Сегодня на уроке мы с вами рассмотрим теорему синусов.

Теорема. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Доказательство.

1.  , ,

2.

Таким образом, мы получили что отношения длины стороны на синус противолежащего угла равны.

Доказать, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.

Доказательство.

1.  и  − совпадают

     прямоугольный

2.  и  − лежат с одной стороны от  

     прямоугольный

3.  и  − лежат по разные стороны от  

Что и требовалось доказать.

Из доказательства этих двух утверждений следует, что . Это утверждение называется расширенной теоремой синусов.

Решим несколько задач.

Задача. Найти  треугольника , если , , .

Решение.

 или 

Ответ:  или  .

Задача. Найти длину стороны  треугольника , если , , .

Решение.

Ответ: .

Задача. В треугольнике  углы . Найти длину , если .

Решение.

,  

Ответ:  см.

Задача. Сторона  треугольника  равна  сантиметрам, а . Найти радиус окружности, описанной около треугольника.

Решение.

Ответ:  см.

Задача. В окружность с  вписан четырехугольник. Два из его углов равны  и . Найти диагонали этого четырехугольника.

Решение.

Ответ:  см,  см.

Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы доказали теорему синусов, расширенную теорему синусов и рассмотрели применение этих теорем на конкретных примерах.