Видеоучебник / Геометрия / 9 класс / Геометрия 9 класс ФГОС / Теорема синусов

Теорема синусов

Урок 23. Геометрия 9 класс ФГОС

В этом уроке мы сформулируем и докажем теорему синусов. Сформулируем и докажем расширенную теорему синусов, которая связывает длины сторон треугольника, синусы углов треугольника с радиусом окружности, описанной около треугольника. Покажем, как можно применять эти теоремы при решении конкретных задач.

Конспект урока "Теорема синусов"

Прежде чем приступить к изучению нового материала, давайте вспомним формулы для нахождения площади треугольника и параллелограмма.

Формулы для вычисления площади треугольника:

Формулы для вычисления площади параллелограмма:

Сегодня на уроке мы с вами рассмотрим теорему синусов.

Теорема. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Доказательство.

1. , ,

Таким образом, мы получили что отношения длины стороны на синус противолежащего угла равны.

Доказать, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.

Доказательство.

1. и − совпадают

прямоугольный

2. и − лежат с одной стороны от

прямоугольный

3. и − лежат по разные стороны от

Что и требовалось доказать.

Из доказательства этих двух утверждений следует, что . Это утверждение называется расширенной теоремой синусов.

Решим несколько задач.

Задача. Найти треугольника , если , , .

Решение.

или

Ответ: или .

Задача. Найти длину стороны треугольника , если , , .

Решение.

Ответ: .

Задача. В треугольнике углы . Найти длину , если .

Решение.

Ответ: см.

Задача. Сторона треугольника равна сантиметрам, а . Найти радиус окружности, описанной около треугольника.

Решение.

Ответ: см.

Задача. В окружность с вписан четырехугольник. Два из его углов равны и . Найти диагонали этого четырехугольника.

Решение.

Ответ: см, см.

Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы доказали теорему синусов, расширенную теорему синусов и рассмотрели применение этих теорем на конкретных примерах.