Теорема косинусов

Прежде чем приступить к изучению нового материала, давайте, вспомним: формулы для вычисления площади треугольника и параллелограмма.

Формулы для вычисления площади треугольника:

Формулы для вычисления площади параллелограмма:

Теорема синусов:

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Расширенная теорема синусов:

Расстояние между двумя точками:

Сегодня на уроке мы с вами сформулируем и докажем теорему косинусов.

Теорема. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон, умноженное на косинус

угла между ними.

Докажем это.

Что и требовалось доказать.

Частным случаем теоремы косинусов является теорема Пифагора.

Давайте рассмотрим прямоугольный треугольник и запишем для него теорему косинусов.

,  

Именно поэтому теорему косинусов называют обобщенной теоремой Пифагора.

Задача. Найти сторону  треугольника , если:

а) ,  ;  б) ,  ; 

в) ,  .

Решение.

Запишем теорему косинуса для стороны AB.

а)

б)

в)

Задача. Найти косинус наибольшего угла треугольника , если стороны этого треугольника равны: а) , , ;  б) , , ; 

в) , ,  .

Решение.

а)

     − треугольник остроугольный

б)

     − треугольник тупоугольный

в)

− треугольник прямоугольный

Давайте подробнее рассмотрим выражения для косинуса угла.

В знаменателе дроби всегда находится положительное число, потому что стороны треугольника могут иметь только положительные длины. Значит, знак косинуса зависит от числителя. В числителе у нас находится разность.

Пусть  наибольшая сторона треугольника, тогда если:

ü    , то треугольник остроугольный

ü    , то треугольник прямоугольный

ü     , то треугольник тупоугольный

Задача. Определить вид треугольника со сторонами:

а) 23, 25, 34;  б) 7, 24, 25;  в) 6, 7, 9.

Решение.

Эту задачу мы будем решать двумя способами: с помощью только что сформулированных утверждений и вычислив косинус наибольшего угла.

а) Решая первым способом, мы получим, что в первом случае у нас тупоугольный треугольник. ,   

 треугольник тупоугольный.

Давайте проверим это.

Косинус отрицательный, значит, наибольший угол треугольника – тупой, то есть треугольник тупоугольный.

б) ,  

 треугольник прямоугольный

в) ,  

 треугольник остроугольный

Решая эту задачу, мы убедились в том, что утверждения действительно справедливы для любого треугольника. Эти утверждения называют следствием из теоремы косинусов.

Пусть  наибольшая сторона треугольника, тогда если:

ü   , то треугольник остроугольный

ü   , то треугольник прямоугольный

ü   , то треугольник тупоугольный

Задача. Доказать, что для произвольного треугольника справедлива формула:

.

Доказательство.

Это формула называется формулой медиан треугольника.

Задача. В треугольнике  найти длины всех медиан, если , , .

Решение. Воспользуемся только что доказанной формулой. Очевидно, что будут выполняться аналогичные формулы для медиан к сторонам b и c. Тогда несложно вычислить длины всех медиан треугольника…

Задача. Доказать, что для любого параллелограмма .

Решение.

Задача. Стороны параллелограмма равны  и . Одна из диагоналей равна . Найти вторую диагональ.

Решение.

Воспользуемся только что доказанным утверждением.

Задача. Две стороны треугольника равны  и , . Найти третью сторону треугольника.

Решение.

Для нахождения неизвестной стороны, воспользуемся теоремой косинуса.

Запишем основное тригонометрическое тождество и найдем, что

 или

Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы сформулировали и доказали теорему косинусов. Вывели следствие их этой теоремы. Познакомились с формулой для нахождения длины медианы треугольников, а также познакомились с формулой связывающей диагонали и стороны параллелограмма.