Прежде чем приступить к изучению нового материала, давайте, вспомним: формулы для вычисления площади треугольника и параллелограмма.
Формулы для вычисления площади треугольника:
Формулы для вычисления площади параллелограмма:
Теорема синусов:
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Расширенная теорема синусов:
Расстояние между двумя точками:
Сегодня на уроке мы с вами сформулируем и докажем теорему косинусов.
Теорема. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон, умноженное на косинус
угла между ними.
Докажем это.
Что и требовалось доказать.
Частным случаем теоремы косинусов является теорема Пифагора.
Давайте рассмотрим прямоугольный треугольник и запишем для него теорему косинусов.
,
Именно поэтому теорему косинусов называют обобщенной теоремой Пифагора.
Задача. Найти сторону треугольника , если:
а) , ; б) , ;
в) , .
Решение.
Запишем теорему косинуса для стороны AB.
а)
б)
в)
Задача. Найти косинус наибольшего угла треугольника , если стороны этого треугольника равны: а) , , ; б) , , ;
в) , , .
Решение.
а)
− треугольник остроугольный
б)
− треугольник тупоугольный
в)
− треугольник прямоугольный
Давайте подробнее рассмотрим выражения для косинуса угла.
В знаменателе дроби всегда находится положительное число, потому что стороны треугольника могут иметь только положительные длины. Значит, знак косинуса зависит от числителя. В числителе у нас находится разность.
Пусть наибольшая сторона треугольника, тогда если:
ü , то треугольник остроугольный
ü , то треугольник прямоугольный
ü , то треугольник тупоугольный
Задача. Определить вид треугольника со сторонами:
а) 23, 25, 34; б) 7, 24, 25; в) 6, 7, 9.
Решение.
Эту задачу мы будем решать двумя способами: с помощью только что сформулированных утверждений и вычислив косинус наибольшего угла.
а) Решая первым способом, мы получим, что в первом случае у нас тупоугольный треугольник. ,
треугольник тупоугольный.
Давайте проверим это.
Косинус отрицательный, значит, наибольший угол треугольника – тупой, то есть треугольник тупоугольный.
б) ,
треугольник прямоугольный
в) ,
треугольник остроугольный
Решая эту задачу, мы убедились в том, что утверждения действительно справедливы для любого треугольника. Эти утверждения называют следствием из теоремы косинусов.
Пусть наибольшая сторона треугольника, тогда если:
ü , то треугольник остроугольный
ü , то треугольник прямоугольный
ü , то треугольник тупоугольный
Задача. Доказать, что для произвольного треугольника справедлива формула:
.
Доказательство.
Это формула называется формулой медиан треугольника.
Задача. В треугольнике найти длины всех медиан, если , , .
Решение. Воспользуемся только что доказанной формулой. Очевидно, что будут выполняться аналогичные формулы для медиан к сторонам b и c. Тогда несложно вычислить длины всех медиан треугольника…
Задача. Доказать, что для любого параллелограмма .
Решение.
Задача. Стороны параллелограмма равны и . Одна из диагоналей равна . Найти вторую диагональ.
Решение.
Воспользуемся только что доказанным утверждением.
Задача. Две стороны треугольника равны и , . Найти третью сторону треугольника.
Решение.
Для нахождения неизвестной стороны, воспользуемся теоремой косинуса.
Запишем основное тригонометрическое тождество и найдем, что
или
Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы сформулировали и доказали теорему косинусов. Вывели следствие их этой теоремы. Познакомились с формулой для нахождения длины медианы треугольников, а также познакомились с формулой связывающей диагонали и стороны параллелограмма.