Перестановки

Сегодня на уроке мы вспомним правило произведения. Выясним, какие соединения называют перестановками. Узнаем, что называют факториалом.

Прежде чем приступить к рассмотрению новой темы, давайте вспомним правило произведения. Итак, если существует  вариантов выбора первого элемента и для каждого из них имеется  вариантов выбора второго элемента, то всего существует  различных пар с выбранными таким образом первым и вторым элементами.

Знаем, что правило произведения может быть применено неоднократно для подсчёта числа соединений из трёх, четырёх, пяти и так далее элементов, выбираемых из определённых множеств с конечным числом элементов.

А теперь давайте выясним, сколькими способами можно составить список из пяти фамилий?

На первое место в списке можно поставить любую из пяти фамилий. На второе место – любую из четырёх оставшихся фамилий. На третье место – любую из трёх оставшихся фамилий. На четвёртое место – любую из оставшихся двух фамилий. На пятое место – последнюю оставшуюся фамилию.

Теперь применив последовательно правило произведения четыре раза  и выполнив умножение, получим, что составить список из пяти фамилий можно  способами.

Можно сказать, что в этой задаче мы нашли число всевозможных соединений из пяти элементов (фамилий). Каждое соединение отличается одно от другого порядком расположения этих элементов. Такие соединения называют перестановками.

Сформулируем определение. Перестановками из  элементов называются соединения, которые состоят из одних и тех же  элементов и отличаются одно от другого только порядком их расположения.

Число перестановок из  элементов обозначают  и читают «ПЭ энное». Буква  – первая буква французского слова, которое переводится как «перестановка».

В предыдущей задаче нами было найдено .

Например, из трёх элементов ,  и  можно образовать 6 различных перестановок: , , , , , .

На первое место можно поставить любой из трёх элементов. На второе место – любой из оставшихся двух. На третье место – последний оставшийся элемент. То есть .

Вообще, формулу числа перестановок  из  различных элементов можно получить, последовательно применяя правило произведения:

.

Давайте запишем множители в правой части формулы в обратном порядке:

Обратите внимание, что здесь записано произведение первых  натуральных чисел.

Произведение всех натуральных чисел от 1 до  называют  факториалом и обозначают .

То есть . Тогда получается, что .

Приведём примеры.

,

,

При этом условились считать, что  и .

Отметим, что перестановки – это простейшие комбинации, которые можно составить из элементов конечного множества.

Далее давайте выясним, сколькими способами можно разместить на полке  дисков? Данная задача сводится к нахождению числа перестановок из семи элементов. Поэтому, чтобы ответить на вопрос, воспользуемся формулой.

Итак, .

Разместить на полке  дисков можно  способами.

А сейчас выполним несколько заданий.

Задание первое. Найдите значения:

а) ; б) ; в) .

Решение.

Задание второе. Сколькими способами можно установить дежурство по одному человеку в день среди семи учащихся группы в течение  дней (каждый должен отдежурить один день)?

Решение.

Задание третье. Сколько пятизначных чисел, не содержащих одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр , , , ,  так, чтобы последней была цифра ?

Решение.

Задание четвёртое. Сколько пятизначных чисел, не содержащих одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр , , , ,  так, чтобы первой была цифра , а второй – цифра ?

Решение.

Задание пятое. Сколько пятизначных чисел, не содержащих одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр , , , ,  так, чтобы первыми были цифры  и , расположенные в любом порядке?

Решение.

Задание шестое. Упростите форму записи выражений ( – натуральное число, ):

а) ; б) ; в) ; г) .

Решение.

Задание седьмое. Найдите значения выражений:

а) ; б) ; в) ; г) .

Решение.