Правило произведения

Сегодня на уроке мы вспомним, какие задачи называют комбинаторными. Повторим правило произведения. Рассмотрим некоторые комбинаторные задачи.

В науке и на практике часто встречаются задачи, решая которые, возникает необходимость составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число этих комбинаций. Такие задачи называют комбинаторными задачами. В курсе алгебры основной школы вами решались элементарные комбинаторные задачи.

Раздел математики, в котором рассматривается решение комбинаторных задач, называют комбинаторикой. Слово «комбинаторика» в переводе с латинского означает «соединять, сочетать».

Итак, комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Также было сформулировано правило произведения, которое в некоторых случаях упрощает подсчёт числа соединений определённого вида. Давайте напомним его.

Если существует  вариантов выбора первого элемента и для каждого из них имеется  вариантов выбора второго элемента, то всего существует  различных пар с выбранными таким образом первым и вторым элементами.

Рассмотрим пример. Сколько различных двузначных чисел можно записать с помощью цифр , , , , ?

В качестве первой цифры двузначного числа может быть выбрана любая из цифр , , , . Нуль не может быть в начале числа. То есть .

А вот в качестве второй цифры двузначного числа может быть выбрана любая из пяти заданных цифр, то есть .

Тогда по правилу произведения число всевозможных двузначных чисел, составленных с помощью предложенных цифр, равно , то есть равно .

Теперь давайте выясним, сколько различных трёхзначных чисел можно записать с помощью цифр , , , , ?

При решении предыдущей задачи мы выяснили, что с помощью этих цифр можно записать  различных двузначных чисел. Приписав к каждому из этих чисел любую из имеющихся пяти цифр, мы получим различные трёхзначные числа.

Таким образом, по правилу произведения существует , то есть  различных трёхзначных чисел, записанных с помощью данных пяти цифр.

Получается, что для решения этой задачи правило произведения использовалось два раза. Первую цифру трёхзначного числа можно было выбрать четырьмя способами (). Вторую цифру можно было присоединить к ней пятью способами (). Затем третью цифру к каждому получившемуся двузначному числу можно было присоединить также пятью способами ().

Таким образом, всего трёхзначных чисел с помощью данных цифр можно образовать , то есть  способами.

Следовательно, сформулированное выше правило произведения может быть применено неоднократно для подсчёта числа соединений из трёх, четырёх, пяти и так далее элементов, которые выбираются из определённых множеств с конечным числом элементов.

Давайте выполним несколько заданий.

Задание первое. Сколько различных двузначных чисел можно записать, используя цифры , ,  и ?

Решение.

Задание второе. Сколько различных трёхзначных чисел можно записать с помощью цифр , ,  и ?

Решение.

Задание третье. Сколько различных трёхзначных чисел, не имеющих одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр , ,  и ?

Решение.

Задание четвёртое. Сколько различных четырёхбуквенных слов можно записать с помощью букв «м» и «а»? Отметим, что словом в комбинаторике называют любую последовательность букв.

Решение.

Задание пятое. В школьной олимпиаде по математике победителями оказались 3 человека, в олимпиаде по физике – 2 человека, в олимпиаде по русскому языку – 4 человека. На районные олимпиады по математике, физике и русскому языку школа должна направить по одному учащемуся из числа победителей школьных туров по трём предметам. Сколькими способами можно это сделать?

Решение.